Subgroups — #182729

Order 512.

1248 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 408 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34211	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20480	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1527	C₂	1	2	yes	maximal
4	#8226	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#8224	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₄×#329	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8031	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#8028	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#519	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#518	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	#2367	—	2	2	no	—
15	#2367	—	2	2	no	—
16	#2342	—	2	4	no	—
17	#2326	C₄	1	2	yes	—
18	#2326	C₄	1	2	yes	—
19	#2310	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#2309	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₄×#124	C₂²	1	2	yes	—
22	C₄×#124	C₂²	1	2	yes	—
23	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1770	—	2	2	no	—
26	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
27	#1753	—	2	4	no	—
28	#1745	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₄×#97	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#1527	C₄	1	16	yes	complemented
31	C₂×#329	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#329	C₂²	1	4	yes	—
33	#1295	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
34	#1295	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#1295	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	#1295	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#1295	C₂²	1	2	yes	complemented
38	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
41	C₂×#124	—	2	2	no	—
42	C₂×#124	—	2	2	no	—
43	C₂×#124	—	2	2	no	—
44	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×#124	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
47	#519	—	4	4	no	—
48	#518	—	4	4	no	—
49	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
50	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
51	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×#117	—	2	2	no	—
58	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#432	—	2	4	no	—
66	#432	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
69	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
70	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
71	C₂×#97	—	2	4	no	—
72	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
77	#391	—	2	2	no	—
78	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	#390	—	2	2	no	—
81	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#388	—	2	4	no	—
84	#388	—	2	4	no	—
85	#388	—	2	4	no	—
86	#388	—	2	4	no	—
87	#385	—	2	4	no	—
88	#385	—	2	4	no	—
89	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
90	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	#382	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	#382	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#381	—	2	2	no	—
94	#380	—	2	2	no	—
95	#379	—	2	2	no	—
96	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
97	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
98	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
99	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
100	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
101	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
102	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
103	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
104	#336	—	2	4	no	—
105	#336	—	2	4	no	—
106	#329	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
107	#329	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
108	C₂⁵	—	2	1	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
112	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
113	C₂²×Q₈	C₄²	1	4	yes	—
114	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
119	C₂²×D₄	C₄²	1	4	yes	—
120	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
127	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
132	#124	—	2	4	no	—
133	#124	—	2	8	no	—
134	#124	—	2	8	no	—
135	#124	—	2	2	no	—
136	#124	—	2	2	no	—
137	#124	C₄²	1	8	yes	—
138	#124	C₂²×C₄	1	8	yes	—
139	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
140	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
141	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
142	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
143	C₄×D₄	—	4	4	no	—
144	C₄×D₄	—	4	4	no	—
145	C₄×D₄	—	4	4	no	—
146	C₄×D₄	—	4	4	no	—
147	#117	—	2	4	no	—
148	#117	—	4	8	no	—
149	#117	—	4	2	no	—
150	#117	—	4	2	no	—
151	#117	—	4	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
191	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
192	#97	—	2	2	no	—
193	#97	—	2	2	no	—
194	#97	—	2	4	no	—
195	#97	—	4	8	no	—
196	#97	C₂²×C₄	1	4	yes	—
197	#97	C₂²×C₄	1	4	yes	—
198	#97	C₂²×C₄	1	8	yes	—
199	C₄×C₈	—	2	8	no	—
200	C₄×C₈	—	4	8	no	—
201	#95	—	2	4	no	—
202	#95	—	2	4	no	—
203	#95	—	2	2	no	—
204	#95	—	2	2	no	—
205	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
206	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
207	C₂⁴	—	2	2	no	—
208	C₂⁴	—	2	4	no	—
209	C₂⁴	—	4	2	no	—
210	C₂⁴	—	4	2	no	—
211	C₂⁴	—	8	2	no	—
212	C₂⁴	—	8	2	no	—
213	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
222	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
223	C₂×D₄	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	8	no	—
228	C₂×D₄	—	4	8	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
248	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
259	M₁₆	—	4	16	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	2	4	no	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	4	no	—
264	C₂×C₈	—	2	8	no	—
265	C₂×C₈	—	4	4	no	—
266	C₂×C₈	—	4	4	no	—
267	C₂×C₈	—	4	2	no	—
268	C₂×C₈	—	4	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
279	C₄⋊C₄	#100	1	4	yes	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
291	C₄²	—	2	4	no	—
292	C₄²	—	4	4	no	—
293	C₄²	—	4	4	no	—
294	C₄²	—	4	2	no	—
295	C₄²	—	4	4	no	—
296	C₄²	—	4	4	no	—
297	C₄²	—	4	2	no	—
298	C₄²	—	4	2	no	—
299	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
300	C₄²	#117	1	2	yes	—
301	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
302	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
303	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
304	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
305	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
306	C₂³	—	2	1	no	—
307	C₂³	—	2	1	no	—
308	C₂³	—	2	2	no	—
309	C₂³	—	2	2	no	—
310	C₂³	—	2	4	no	—
311	C₂³	—	4	8	no	—
312	C₂³	—	4	2	no	—
313	C₂³	—	4	2	no	—
314	C₂³	—	4	4	no	—
315	C₂³	—	4	4	no	—
316	C₂³	—	8	8	no	—
317	C₂³	—	16	2	no	—
318	C₂³	—	16	2	no	—
319	C₂³	—	16	4	no	—
320	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
321	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
322	Q₈	—	4	4	no	—
323	Q₈	—	4	4	no	—
324	Q₈	—	4	8	no	—
325	D₄	—	4	4	no	—
326	D₄	—	4	4	no	—
327	D₄	—	4	8	no	—
328	C₂×C₄	—	2	1	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	4	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	8	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	1	no	—
349	C₂×C₄	—	4	1	no	—
350	C₂×C₄	—	4	1	no	—
351	C₂×C₄	—	4	1	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	16	4	no	—
357	C₂×C₄	—	16	4	no	—
358	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
359	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#413	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
367	C₈	—	2	8	no	—
368	C₈	—	4	8	no	—
369	C₈	—	4	4	no	—
370	C₂²	—	2	2	no	—
371	C₂²	—	2	4	no	—
372	C₂²	—	4	1	no	—
373	C₂²	—	4	1	no	—
374	C₂²	—	4	2	no	—
375	C₂²	—	4	4	no	—
376	C₂²	—	4	8	no	—
377	C₂²	—	8	2	no	—
378	C₂²	—	8	2	no	—
379	C₂²	—	8	4	no	—
380	C₂²	—	16	8	no	—
381	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	#2901	1	2	yes	—
385	C₂²	#2901	1	2	yes	—
386	C₄	—	2	4	no	—
387	C₄	—	2	1	no	—
388	C₄	—	2	1	no	—
389	C₄	—	2	2	no	—
390	C₄	—	2	2	no	—
391	C₄	—	2	4	no	—
392	C₄	—	4	2	no	—
393	C₄	—	4	4	no	—
394	C₄	—	4	4	no	—
395	C₄	—	8	1	no	—
396	C₄	—	8	1	no	—
397	C₄	—	8	1	no	—
398	C₄	—	8	1	no	—
399	C₄	C₄×#100	1	4	yes	—
400	C₂	—	4	2	no	—
401	C₂	—	8	4	no	—
402	C₂	#17685	1	1	yes	characteristic
403	C₂	#17688	1	1	yes	characteristic
404	C₂	#17691	1	2	yes	—
405	C₂	C₂×C₄×#100	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#20405	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20480	C₂	semidirect
4. #8226	C₂	semidirect
5. #8224	C₂	semidirect
6. C₄×#329	C₂	semidirect
7. #8031	C₂	semidirect
8. #8028	C₂	semidirect
28. #1745	C₂²	semidirect
29. C₄×#97	C₂²	semidirect
30. #1527	C₄	semidirect
33. #1295	C₂²	semidirect
34. #1295	C₂²	semidirect
35. #1295	C₂²	semidirect
36. #1295	C₂²	semidirect
37. #1295	C₂²	semidirect
66. #432	C₂×C₄	semidirect
70. C₄×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
106. #329	C₂×C₄	semidirect
107. #329	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34211	2
#20480	2
C₂×#1527	2
#8226	2
#8224	2
C₄×#329	2
#8031	2
#8028	2