Subgroups — #182744

Order 512.

1002 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 361 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34239	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20479	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20367	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1528	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂²×#330	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#8227	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#8225	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#8036	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#8029	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#2371	—	2	2	no	—
16	#2370	C₄	1	4	yes	—
17	#2345	C₄	1	2	yes	—
18	#2344	—	2	2	no	—
19	#2344	C₄	1	2	yes	—
20	#2336	—	2	2	no	—
21	#2313	—	2	1	no	—
22	C₄×#125	C₂²	1	4	yes	—
23	#2283	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2274	—	2	1	no	—
25	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1771	—	2	2	no	—
27	#1752	—	2	1	no	—
28	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
29	#1746	—	2	2	no	—
30	#1745	C₂²	1	2	yes	—
31	#1745	C₂²	1	4	yes	—
32	#1729	—	2	2	no	—
33	C₄×#97	C₂²	1	2	yes	—
34	#1528	C₄	1	8	yes	complemented
35	C₂×#330	C₄	1	8	yes	complemented
36	C₂×#330	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#330	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂×#330	C₂²	1	2	yes	—
39	#1295	C₂²	1	2	yes	—
40	#1295	C₂²	1	4	yes	—
41	#1295	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
43	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
44	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
45	C₂×#125	—	2	1	no	—
46	C₂×#125	—	2	1	no	—
47	C₂×#125	—	2	2	no	—
48	C₂×#125	—	2	2	no	—
49	C₂×#125	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×#125	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#117	—	2	2	no	—
54	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#432	—	2	2	no	—
61	#432	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
64	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
65	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₂×#97	—	2	1	no	—
67	C₂×#97	—	2	1	no	—
68	C₂×#97	—	2	2	no	—
69	C₂×#97	—	2	2	no	—
70	C₂×#97	—	2	2	no	—
71	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
80	#389	—	2	4	no	—
81	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
83	#387	—	2	4	no	—
84	#387	—	2	4	no	—
85	#387	—	2	4	no	—
86	#387	—	2	4	no	—
87	#387	—	2	4	no	—
88	#387	—	2	4	no	—
89	#383	—	2	1	no	—
90	#382	C₂³	1	2	yes	—
91	#381	—	2	1	no	—
92	#381	—	2	2	no	—
93	#380	—	2	2	no	—
94	#380	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
96	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
97	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
98	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
99	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
100	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
101	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
102	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
103	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
104	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
105	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
106	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
108	#376	—	2	1	no	—
109	#376	D₄	1	2	yes	—
110	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
111	#336	—	2	8	no	—
112	#336	—	2	2	no	—
113	#336	—	2	2	no	—
114	#330	C₂×C₄	1	8	yes	—
115	#330	C₂×C₄	1	8	yes	—
116	#330	C₂×C₄	1	16	yes	—
117	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
119	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
132	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
133	#125	—	2	4	no	—
134	#125	—	2	4	no	—
135	#125	—	2	4	no	—
136	#125	—	2	4	no	—
137	#125	—	2	4	no	—
138	#125	—	2	2	no	—
139	#125	—	2	2	no	—
140	#125	C₄²	1	8	yes	—
141	#125	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	#125	C₂²×C₄	1	4	yes	—
143	#117	—	4	4	no	—
144	#117	—	4	8	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	4	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	4	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
183	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
184	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
185	#97	—	2	4	no	—
186	#97	—	2	4	no	—
187	#97	—	2	1	no	—
188	#97	—	2	1	no	—
189	#97	—	2	2	no	—
190	#97	—	2	2	no	—
191	#97	—	2	2	no	—
192	#97	—	4	4	no	—
193	#97	C₂²×C₄	1	2	yes	—
194	#97	C₂²×C₄	1	2	yes	—
195	#97	C₂²×C₄	1	4	yes	—
196	#97	C₂²×C₄	1	4	yes	—
197	#97	C₂²×C₄	1	4	yes	—
198	C₄×C₈	—	2	4	no	—
199	C₄×C₈	—	4	4	no	—
200	#95	—	2	2	no	—
201	#95	—	2	4	no	—
202	#95	—	2	4	no	—
203	#95	—	2	4	no	—
204	#95	—	2	2	no	—
205	#95	—	2	4	no	—
206	#95	—	2	2	no	—
207	#95	—	2	2	no	—
208	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
209	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
210	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	M₁₆	—	4	8	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	4	8	no	—
244	C₂×C₈	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	—	4	2	no	—
246	C₂×C₈	—	4	4	no	—
247	C₂×C₈	—	4	2	no	—
248	C₂×C₈	—	4	8	no	—
249	C₂×C₈	—	4	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
263	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
264	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
265	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
266	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
269	C₄²	—	4	2	no	—
270	C₄²	—	4	2	no	—
271	C₄²	—	4	4	no	—
272	C₄²	—	4	4	no	—
273	C₄²	—	4	8	no	—
274	C₄²	—	8	2	no	—
275	C₄²	—	8	4	no	—
276	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
277	C₄²	#117	1	2	yes	—
278	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
279	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
280	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
281	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
282	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
283	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
284	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
285	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
289	C₂³	#421	1	4	yes	—
290	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	8	4	no	—
319	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
328	C₈	—	2	4	no	—
329	C₈	—	4	4	no	—
330	C₈	—	4	4	no	—
331	C₈	—	4	2	no	—
332	C₈	—	4	4	no	—
333	C₂²	—	2	8	no	—
334	C₂²	—	2	2	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	#1759	1	4	yes	—
337	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#2889	1	2	yes	—
339	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
340	C₂²	#2901	1	2	yes	—
341	C₄	—	2	1	no	—
342	C₄	—	2	2	no	—
343	C₄	—	2	1	no	—
344	C₄	—	2	1	no	—
345	C₄	—	2	1	no	—
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	2	1	no	—
348	C₄	—	2	1	no	—
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	4	4	no	—
351	C₄	—	4	4	no	—
352	C₄	—	4	4	no	—
353	C₄	—	4	4	no	—
354	C₄	—	8	4	no	—
355	C₂	—	2	4	no	—
356	C₂	#17680	1	4	yes	—
357	C₂	#20399	1	1	yes	characteristic
358	C₂	C₂×#1759	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#20405	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #8227	C₂	semidirect
7. #8225	C₂	semidirect
34. #1528	C₄	semidirect
35. C₂×#330	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34239	2
#20479	2
#20367	2
C₂×#1528	2
C₂²×#330	2
#8227	2
#8225	2
#8036	2
#8029	2