Subgroups — #182803

Order 512.

1858 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 319 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#432	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1555	C₂	1	2	yes	maximal
4	#8234	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#8040	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂²×C₄×D₄	—	2	2	no	—
8	C₂²×C₄×D₄	C₄	1	2	yes	—
9	C₂×#432	C₂²	1	4	yes	—
10	C₄×#127	—	2	2	no	—
11	C₄×#127	—	2	2	no	—
12	C₄×#127	C₄	1	4	yes	—
13	C₄×#127	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#390	—	2	2	no	—
15	C₂×#390	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#1767	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
20	#1749	—	2	2	no	—
21	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
22	#1745	—	2	2	no	—
23	C₄×#97	—	2	2	no	—
24	#1555	C₄	1	16	yes	complemented
25	C₂×#331	C₂²	1	8	yes	—
26	#1296	C₂²	1	8	yes	complemented
27	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
28	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
29	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
30	C₂×#127	—	2	2	no	—
31	C₂×#127	—	2	4	no	—
32	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂×#127	C₂×C₄	1	8	yes	—
34	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
36	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
37	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄×D₄	—	4	16	no	—
41	C₂×C₄×D₄	—	4	8	no	—
42	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
46	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
47	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	#432	—	2	8	no	—
53	#432	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
54	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
55	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
56	C₂×#97	—	2	4	no	—
57	C₂×#97	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
59	#390	—	2	2	no	—
60	#390	—	2	2	no	—
61	#390	—	2	4	no	—
62	#390	—	2	4	no	—
63	#390	—	2	4	no	—
64	#390	—	2	4	no	—
65	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
66	#384	—	2	2	no	—
67	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	#384	C₂³	1	2	yes	—
69	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₄³	D₄	1	2	yes	—
71	C₄³	D₄	1	2	yes	—
72	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
73	#336	—	2	4	no	—
74	#336	—	2	4	no	—
75	#331	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
76	C₂⁵	—	2	2	no	—
77	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
78	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
79	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
80	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
81	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
82	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
83	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
84	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
85	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
86	C₂²×D₄	C₄²	1	8	yes	—
87	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
88	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
90	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
91	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
92	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
98	#127	—	2	4	no	—
99	#127	—	2	16	no	—
100	#127	—	2	4	no	—
101	#127	C₄²	1	8	yes	—
102	#127	C₂²×C₄	1	8	yes	—
103	C₄×D₄	—	4	16	no	—
104	C₄×D₄	—	4	16	no	—
105	C₄×D₄	—	4	16	no	—
106	C₄×D₄	—	4	16	no	—
107	C₄×D₄	—	4	16	no	—
108	C₄×D₄	—	4	16	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
120	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
122	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
123	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
124	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
125	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
126	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
127	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
142	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
143	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
144	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
145	#97	—	2	16	no	—
146	#97	—	4	8	no	—
147	C₄×C₈	—	4	8	no	—
148	C₂⁴	—	2	4	no	—
149	C₂⁴	—	2	8	no	—
150	C₂⁴	—	4	8	no	—
151	C₂⁴	—	4	8	no	—
152	C₂⁴	—	4	4	no	—
153	C₂⁴	—	4	4	no	—
154	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×D₄	—	2	4	no	—
156	C₂×D₄	—	2	16	no	—
157	C₂×D₄	—	2	8	no	—
158	C₂×D₄	—	2	16	no	—
159	C₂×D₄	—	4	4	no	—
160	C₂×D₄	—	4	16	no	—
161	C₂×D₄	—	4	4	no	—
162	C₂×D₄	—	4	4	no	—
163	C₂×D₄	—	4	8	no	—
164	C₂×D₄	—	4	4	no	—
165	C₂×D₄	—	4	8	no	—
166	C₂×D₄	—	4	16	no	—
167	C₂×D₄	—	4	64	no	—
168	C₂×D₄	—	4	8	no	—
169	C₂×D₄	—	4	8	no	—
170	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
187	C₂²×C₄	—	8	32	no	—
188	C₂²×C₄	#100	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₈	—	2	16	no	—
201	C₂×C₈	—	4	8	no	—
202	C₂×C₈	—	4	8	no	—
203	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
204	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
205	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
206	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
210	C₄²	—	2	4	no	—
211	C₄²	—	2	4	no	—
212	C₄²	—	2	4	no	—
213	C₄²	—	2	4	no	—
214	C₄²	—	2	4	no	—
215	C₄²	—	2	4	no	—
216	C₄²	—	2	4	no	—
217	C₄²	—	4	1	no	—
218	C₄²	—	4	1	no	—
219	C₄²	—	4	2	no	—
220	C₄²	—	4	2	no	—
221	C₄²	—	4	2	no	—
222	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
223	C₄²	#117	1	2	yes	—
224	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
225	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
226	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
227	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
228	C₂³	—	2	2	no	—
229	C₂³	—	2	2	no	—
230	C₂³	—	2	8	no	—
231	C₂³	—	4	32	no	—
232	C₂³	—	4	4	no	—
233	C₂³	—	4	4	no	—
234	C₂³	—	4	8	no	—
235	C₂³	—	4	8	no	—
236	C₂³	—	4	16	no	—
237	C₂³	—	8	8	no	—
238	C₂³	—	8	16	no	—
239	C₂³	—	8	8	no	—
240	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
241	C₂³	C₂×#100	1	2	yes	—
242	C₂³	#413	1	2	yes	—
243	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
244	D₄	—	4	8	no	—
245	D₄	—	4	8	no	—
246	D₄	—	4	16	no	—
247	D₄	—	4	32	no	—
248	D₄	—	4	32	no	—
249	C₂×C₄	—	2	8	no	—
250	C₂×C₄	—	2	1	no	—
251	C₂×C₄	—	2	1	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	1	no	—
255	C₂×C₄	—	2	1	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	16	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂×C₄	—	4	8	no	—
270	C₂×C₄	—	4	4	no	—
271	C₂×C₄	—	4	8	no	—
272	C₂×C₄	—	8	32	no	—
273	C₂×C₄	—	8	8	no	—
274	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
275	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
277	C₂×C₄	#418	1	4	yes	—
278	C₂×C₄	#418	1	4	yes	—
279	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
284	C₈	—	4	16	no	—
285	C₂²	—	2	2	no	—
286	C₂²	—	2	4	no	—
287	C₂²	—	2	2	no	—
288	C₂²	—	2	4	no	—
289	C₂²	—	4	8	no	—
290	C₂²	—	4	16	no	—
291	C₂²	—	8	32	no	—
292	C₂²	—	8	4	no	—
293	C₂²	—	8	8	no	—
294	C₂²	—	8	4	no	—
295	C₂²	C₄×#100	1	4	yes	—
296	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
299	C₂²	C₂×#418	1	2	yes	—
300	C₂²	#2896	1	2	yes	—
301	C₄	—	2	4	no	—
302	C₄	—	2	4	no	—
303	C₄	—	2	4	no	—
304	C₄	—	2	1	no	—
305	C₄	—	2	2	no	—
306	C₄	—	2	1	no	—
307	C₄	—	2	4	no	—
308	C₄	—	4	2	no	—
309	C₄	—	8	4	no	—
310	C₄	C₄×AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
311	C₂	—	2	4	no	—
312	C₂	—	8	8	no	—
313	C₂	#17741	1	1	yes	characteristic
314	C₂	#17744	1	2	yes	—
315	C₂	#17754	1	1	yes	characteristic
316	C₂	C₂×C₄×#100	1	1	yes	characteristic
317	C₂	C₄×#418	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₄×#432	C₂	semidirect
4. #8234	C₂	semidirect
5. #8040	C₂	semidirect
18. #1767	C₂²	semidirect
19. C₄×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
24. #1555	C₄	semidirect
26. #1296	C₂²	semidirect
53. #432	C₂×C₄	semidirect
75. #331	C₂×C₄	semidirect
143. C₄⋊C₈	C₂²×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#127	2
C₄×#432	2
C₂×#1555	2
#8234	2
#8040	2