Subgroups — #182804

Order 512.

1404 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#423	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1560	C₂	1	2	yes	maximal
4	#8235	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#8234	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8041	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×C₄×#41	C₄	1	2	yes	—
9	C₂×#423	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
11	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
13	C₄×#124	C₄	1	4	yes	—
14	C₄×#121	—	2	2	no	—
15	C₄×#121	—	2	2	no	—
16	#2297	C₄	1	2	yes	—
17	#2293	—	2	2	no	—
18	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₄²×D₄	—	2	2	no	—
20	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#1767	—	2	2	no	—
22	#1767	C₂²	1	4	yes	—
23	C₄×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
24	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
25	#1728	—	2	2	no	—
26	#1560	C₄	1	16	yes	complemented
27	C₂×#333	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
29	#1296	C₂²	1	8	yes	—
30	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
32	#532	—	2	4	no	—
33	#532	C₂×C₄	1	8	yes	—
34	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂×#121	—	2	2	no	—
38	C₄×#41	—	4	8	no	—
39	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×#117	—	2	2	no	—
46	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
48	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	#423	—	2	8	no	—
54	#423	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
55	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
57	C₄×M₁₆	—	4	8	no	—
58	C₂×#97	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
60	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	#390	—	2	2	no	—
62	#390	—	2	2	no	—
63	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	#389	—	2	2	no	—
65	#389	—	2	2	no	—
66	#388	—	2	4	no	—
67	#388	—	2	4	no	—
68	#386	—	2	2	no	—
69	#386	—	2	2	no	—
70	#384	C₂³	1	2	yes	—
71	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#380	—	2	2	no	—
73	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
74	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
77	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
78	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₄³	D₄	1	2	yes	—
81	C₄³	D₄	1	2	yes	—
82	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
83	#336	—	2	4	no	—
84	#336	—	2	4	no	—
85	#333	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
86	#331	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
87	C₂×#41	—	2	4	no	—
88	C₂×#41	—	4	4	no	—
89	C₂×#41	—	4	4	no	—
90	C₂×#41	C₄²	1	8	yes	—
91	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
97	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
103	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
104	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
106	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
107	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
108	#127	—	2	2	no	—
109	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
110	#124	—	2	4	no	—
111	#124	C₄²	1	8	yes	—
112	#121	—	2	16	no	—
113	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
114	C₄×D₄	—	2	16	no	—
115	C₄×D₄	—	4	8	no	—
116	C₄×D₄	—	4	8	no	—
117	C₄×D₄	—	4	16	no	—
118	C₄×D₄	—	4	4	no	—
119	C₄×D₄	—	4	4	no	—
120	#117	—	4	8	no	—
121	#117	—	4	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
138	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
140	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
158	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
159	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
160	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
161	#97	—	4	8	no	—
162	C₄×C₈	—	4	8	no	—
163	#95	—	2	4	no	—
164	#95	—	2	4	no	—
165	#95	—	2	4	no	—
166	C₂⁴	—	2	2	no	—
167	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
168	#41	—	4	16	no	—
169	#41	—	4	16	no	—
170	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
171	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
172	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
173	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
174	C₂×D₄	—	2	8	no	—
175	C₂×D₄	—	2	2	no	—
176	C₂×D₄	—	2	8	no	—
177	C₂×D₄	—	4	2	no	—
178	C₂×D₄	—	4	2	no	—
179	C₂×D₄	—	4	4	no	—
180	C₂×D₄	—	4	4	no	—
181	C₂×D₄	—	4	2	no	—
182	C₂×D₄	—	4	2	no	—
183	C₂×D₄	—	4	4	no	—
184	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
205	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
216	M₁₆	—	4	32	no	—
217	C₂×C₈	—	2	16	no	—
218	C₂×C₈	—	4	8	no	—
219	C₂×C₈	—	4	8	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
221	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
231	C₄²	—	2	2	no	—
232	C₄²	—	2	2	no	—
233	C₄²	—	2	4	no	—
234	C₄²	—	2	4	no	—
235	C₄²	—	2	2	no	—
236	C₄²	—	2	4	no	—
237	C₄²	—	2	4	no	—
238	C₄²	—	2	4	no	—
239	C₄²	—	2	4	no	—
240	C₄²	—	4	2	no	—
241	C₄²	—	4	2	no	—
242	C₄²	—	4	2	no	—
243	C₄²	—	4	8	no	—
244	C₄²	—	4	4	no	—
245	C₄²	#100	1	4	yes	—
246	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
247	C₄²	#117	1	2	yes	—
248	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
249	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
250	C₄²	#137	1	4	yes	—
251	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
252	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
253	C₂³	—	2	1	no	—
254	C₂³	—	2	1	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	—	2	4	no	—
258	C₂³	—	4	2	no	—
259	C₂³	—	4	2	no	—
260	C₂³	—	4	4	no	—
261	C₂³	—	4	4	no	—
262	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
263	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
264	Q₈	—	4	4	no	—
265	Q₈	—	4	4	no	—
266	D₄	—	4	4	no	—
267	D₄	—	4	4	no	—
268	D₄	—	4	16	no	—
269	D₄	—	4	8	no	—
270	D₄	—	4	8	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	1	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	8	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	16	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	8	16	no	—
299	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#413	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#417	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	#417	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
312	C₈	—	4	16	no	—
313	C₂²	—	2	2	no	—
314	C₂²	—	2	4	no	—
315	C₂²	—	4	2	no	—
316	C₂²	—	4	1	no	—
317	C₂²	—	4	1	no	—
318	C₂²	—	4	4	no	—
319	C₂²	—	4	8	no	—
320	C₂²	—	8	4	no	—
321	C₂²	—	8	2	no	—
322	C₂²	—	8	2	no	—
323	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂×#417	1	2	yes	—
327	C₂²	#2896	1	2	yes	—
328	C₄	—	2	4	no	—
329	C₄	—	2	4	no	—
330	C₄	—	2	4	no	—
331	C₄	—	2	1	no	—
332	C₄	—	2	1	no	—
333	C₄	—	2	4	no	—
334	C₄	—	4	2	no	—
335	C₄	—	4	4	no	—
336	C₄	—	8	4	no	—
337	C₄	C₄×#100	1	4	yes	—
338	C₄	C₄×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
339	C₄	C₄×#137	1	4	yes	—
340	C₂	—	4	2	no	—
341	C₂	—	8	4	no	—
342	C₂	#17750	1	2	yes	—
343	C₂	#17752	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#17757	1	1	yes	characteristic
345	C₂	C₂×C₄×#100	1	1	yes	characteristic
346	C₂	C₄×#417	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₄×#423	C₂	semidirect
4. #8235	C₂	semidirect
5. #8234	C₂	semidirect
6. #8041	C₂	semidirect
26. #1560	C₄	semidirect
54. #423	C₂×C₄	semidirect
85. #333	C₂×C₄	semidirect
86. #331	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#532	2
C₄×#423	2
C₂×#1560	2
#8235	2
#8234	2
#8041	2