Subgroups — #182824

Order 512.

1126 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34216	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20543	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1549	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂²×#332	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#8237	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₄×#332	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#8045	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#8039	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#405	—	2	1	no	—
16	#2369	C₄	1	4	yes	—
17	#2365	—	2	2	no	—
18	#2345	C₄	1	4	yes	—
19	Q₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
20	#2331	—	2	2	no	—
21	#2316	—	2	1	no	—
22	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
23	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2274	—	2	1	no	—
25	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
27	#1768	—	2	2	no	—
28	#1767	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
31	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
32	#1729	—	2	1	no	—
33	#1549	C₄	1	8	yes	complemented
34	C₂×#332	C₄	1	8	yes	complemented
35	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	—
38	#1296	C₂²	1	2	yes	—
39	#1296	C₂²	1	4	yes	—
40	#1296	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
42	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
43	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
44	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
54	C₂×#117	—	2	1	no	—
55	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#431	—	2	2	no	—
61	#431	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	#423	—	2	2	no	—
63	#423	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
77	#405	—	4	4	no	—
78	C₂×#97	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
82	#391	—	2	4	no	—
83	#391	—	2	8	no	—
84	#389	—	2	4	no	—
85	#389	—	2	4	no	—
86	#389	C₂×C₄	1	8	yes	—
87	#387	—	2	8	no	—
88	#384	C₂³	1	2	yes	—
89	#382	—	2	1	no	—
90	#380	—	2	1	no	—
91	#380	—	2	4	no	—
92	#380	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
94	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
95	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
96	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
97	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
99	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
100	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
101	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
102	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
103	#376	D₄	1	2	yes	—
104	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
105	#336	—	2	2	no	—
106	#336	—	2	2	no	—
107	#336	—	2	4	no	—
108	#332	C₂×C₄	1	8	yes	—
109	#332	C₂×C₄	1	8	yes	—
110	#332	C₂×C₄	1	16	yes	—
111	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
113	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×Q₈	—	8	2	no	—
116	C₂²×Q₈	—	8	2	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄⋊Q₈	C₄²	1	8	yes	—
142	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
143	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
144	C₄×Q₈	—	8	4	no	—
145	C₄×Q₈	—	8	4	no	—
146	#117	—	2	2	no	—
147	#117	—	2	2	no	—
148	#117	—	4	2	no	—
149	#117	—	4	2	no	—
150	#117	SD₁₆	1	4	yes	—
151	#117	Q₁₆	1	4	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	8	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
183	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
189	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
190	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
191	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
192	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
193	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
194	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
195	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
196	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
197	#97	—	4	4	no	—
198	C₄×C₈	—	2	4	no	—
199	C₄×C₈	—	4	4	no	—
200	C₄×C₈	—	8	4	no	—
201	#95	—	2	8	no	—
202	#95	—	2	2	no	—
203	#95	—	2	2	no	—
204	#95	—	2	8	no	—
205	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
206	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
207	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
213	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
215	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
224	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	M₁₆	—	4	8	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	4	1	no	—
249	C₂×C₈	—	4	2	no	—
250	C₂×C₈	—	4	1	no	—
251	C₂×C₈	—	4	1	no	—
252	C₂×C₈	—	4	1	no	—
253	C₂×C₈	—	4	2	no	—
254	C₂×C₈	—	4	2	no	—
255	C₂×C₈	—	4	4	no	—
256	C₂×C₈	—	4	2	no	—
257	C₂×C₈	—	4	8	no	—
258	C₂×C₈	—	8	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
271	C₄⋊C₄	#103	1	8	yes	—
272	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	#103	1	8	yes	—
276	C₄²	—	2	2	no	—
277	C₄²	—	2	2	no	—
278	C₄²	—	2	4	no	—
279	C₄²	—	2	4	no	—
280	C₄²	—	4	4	no	—
281	C₄²	—	4	4	no	—
282	C₄²	—	8	8	no	—
283	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
284	C₄²	#117	1	2	yes	—
285	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
286	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
287	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
288	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
289	C₄²	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
290	C₄²	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
291	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
292	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
293	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
294	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
295	C₂³	—	2	2	no	—
296	C₂³	—	2	2	no	—
297	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
298	C₂³	C₂×#103	1	2	yes	—
299	C₂³	#416	1	2	yes	—
300	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
301	Q₈	—	4	8	no	—
302	Q₈	—	4	4	no	—
303	Q₈	—	4	4	no	—
304	Q₈	—	8	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	8	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	8	8	no	—
324	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#103	1	8	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#103	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#416	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
346	C₈	—	4	2	no	—
347	C₈	—	4	2	no	—
348	C₈	—	4	4	no	—
349	C₈	—	4	4	no	—
350	C₈	—	4	4	no	—
351	C₂²	—	2	4	no	—
352	C₂²	—	2	4	no	—
353	C₂²	—	2	2	no	—
354	C₂²	—	2	2	no	—
355	C₂²	C₄×#103	1	4	yes	—
356	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#2889	1	2	yes	—
358	C₂²	C₂²×#103	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	C₂×#416	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#2897	1	2	yes	—
361	C₄	—	2	8	no	—
362	C₄	—	2	1	no	—
363	C₄	—	2	2	no	—
364	C₄	—	2	1	no	—
365	C₄	—	2	2	no	—
366	C₄	—	4	4	no	—
367	C₄	—	4	8	no	—
368	C₄	—	8	4	no	—
369	C₄	C₄×#103	1	4	yes	—
370	C₄	C₂×C₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
371	C₄	C₂×C₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
372	C₄	C₂×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
373	C₄	C₂×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
374	C₄	#2946	1	2	yes	—
375	C₄	#2948	1	1	yes	characteristic
376	C₄	#2949	1	1	yes	characteristic
377	C₂	—	2	4	no	—
378	C₂	#17723	1	2	yes	—
379	C₂	#17727	1	2	yes	—
380	C₂	#20399	1	1	yes	characteristic
381	C₂	C₂×C₄×#103	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#20416	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #8237	C₂	semidirect
7. C₄×#332	C₂	semidirect
33. #1549	C₄	semidirect
34. C₂×#332	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34216	2
#20543	2
#20431	2
C₂×#1549	2
C₂²×#332	2
#8237	2
C₄×#332	2
#8045	2
#8039	2