Subgroups — #182861

Order 512.

987 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60207	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20479	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#17543	C₂	1	2	yes	maximal
4	#8240	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#8239	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8238	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8056	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#8048	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3444	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#2970	—	2	4	no	—
11	#2968	—	2	2	no	—
12	#2968	—	2	2	no	—
13	#2961	C₄	1	2	yes	complemented
14	#2932	C₄	1	2	yes	complemented
15	#2929	C₂²	1	2	yes	—
16	#2929	C₂²	1	2	yes	—
17	#2923	C₄	1	2	yes	complemented
18	#2920	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
20	#2875	C₄	1	2	yes	complemented
21	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
23	#1771	—	2	4	no	—
24	#1752	C₂²	1	4	yes	—
25	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
26	#1745	—	2	2	no	—
27	C₄×#97	—	2	2	no	—
28	#1509	C₄	1	8	yes	complemented
29	#1506	C₄	1	4	yes	complemented
30	#1505	C₄	1	4	yes	complemented
31	#1501	C₂²	1	4	yes	—
32	#1501	C₂²	1	4	yes	—
33	#1298	C₂²	1	2	yes	—
34	#1298	C₂²	1	2	yes	—
35	#1297	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1297	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1297	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#131	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂×#131	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
41	#533	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	#533	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	#532	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	#532	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	#529	—	2	2	no	—
46	#529	—	2	2	no	—
47	#529	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	#525	—	2	2	no	—
49	#525	C₂³	1	2	yes	—
50	C₄×#41	—	2	2	no	—
51	C₄×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×#117	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#446	—	2	4	no	—
55	#446	—	2	4	no	—
56	#435	—	2	4	no	—
57	#435	—	2	4	no	—
58	#435	—	2	4	no	—
59	#435	—	2	4	no	—
60	C₈×D₄	—	2	4	no	—
61	C₈×D₄	—	2	4	no	—
62	#433	—	2	4	no	—
63	#432	—	2	2	no	—
64	#432	—	2	2	no	—
65	#432	—	2	2	no	—
66	#432	—	2	4	no	—
67	#432	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	#432	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	#431	—	2	2	no	—
70	#424	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	#424	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
74	#408	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#408	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	#407	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#407	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
79	#405	—	2	2	no	—
80	#405	—	2	2	no	—
81	#405	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#405	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
84	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×#97	—	2	2	no	—
86	C₂×#97	—	2	2	no	—
87	C₂×#97	—	2	4	no	—
88	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
92	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
93	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
95	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
96	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
97	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
98	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
100	#376	C₂×C₄	1	4	yes	—
101	C₄³	—	2	2	no	—
102	#336	—	2	4	no	—
103	#336	—	2	4	no	—
104	#328	C₂×C₄	1	8	yes	—
105	#328	C₂×C₄	1	8	yes	—
106	#327	C₂×C₄	1	8	yes	—
107	#327	C₂×C₄	1	8	yes	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
112	#131	—	4	4	no	—
113	#131	—	4	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
122	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
126	C₄⋊Q₈	C₄²	1	1	yes	characteristic
127	C₄⋊Q₈	C₄²	1	2	yes	—
128	#127	C₄²	1	1	yes	characteristic
129	#126	—	2	4	no	—
130	#125	—	2	2	no	—
131	#125	C₄²	1	2	yes	—
132	#124	—	2	2	no	—
133	#124	C₄²	1	2	yes	—
134	#123	—	2	4	no	—
135	#123	—	2	2	no	—
136	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
138	C₂²⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	#121	—	2	2	no	—
140	#121	—	2	2	no	—
141	#121	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	#120	—	2	2	no	—
143	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄×Q₈	C₄²	1	4	yes	—
146	C₄×D₄	—	2	4	no	—
147	C₄×D₄	—	2	4	no	—
148	C₄×D₄	—	2	4	no	—
149	C₄×D₄	—	2	2	no	—
150	C₄×D₄	—	2	2	no	—
151	C₄×D₄	C₄²	1	4	yes	—
152	#117	—	2	2	no	—
153	#117	—	2	2	no	—
154	#117	—	2	4	no	—
155	#117	—	4	8	no	—
156	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
172	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
173	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
174	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
175	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
176	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
177	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
179	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
180	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
181	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
182	C₂²⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
183	#97	—	2	2	no	—
184	#97	—	2	2	no	—
185	#97	—	2	2	no	—
186	#97	—	2	4	no	—
187	#97	—	2	4	no	—
188	#97	—	4	8	no	—
189	#97	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
190	#97	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
191	#97	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
192	#97	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
193	#97	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
194	#97	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
195	#97	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
196	C₄×C₈	—	2	2	no	—
197	C₄×C₈	—	2	2	no	—
198	C₄×C₈	—	2	2	no	—
199	C₄×C₈	—	4	8	no	—
200	#95	—	2	4	no	—
201	#95	C₂²×C₄	1	4	yes	—
202	#95	C₂²×C₄	1	4	yes	—
203	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
204	#41	—	4	2	no	—
205	#41	—	4	2	no	—
206	#41	—	8	4	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
208	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
209	C₂×D₄	—	2	2	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	2	no	—
212	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
229	M₁₆	—	4	4	no	—
230	M₁₆	—	4	4	no	—
231	M₁₆	—	4	2	no	—
232	M₁₆	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	8	no	—
234	C₂×C₈	—	2	4	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	8	no	—
238	C₂×C₈	—	4	2	no	—
239	C₂×C₈	—	4	4	no	—
240	C₂×C₈	—	4	4	no	—
241	C₂×C₈	—	4	4	no	—
242	C₂×C₈	—	4	4	no	—
243	C₂×C₈	—	4	4	no	—
244	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
245	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
246	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
247	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
253	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₄²	—	2	2	no	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₄²	—	4	4	no	—
264	C₄²	—	4	4	no	—
265	C₄²	—	4	8	no	—
266	C₄²	—	8	4	no	—
267	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
268	C₄²	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
269	C₄²	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
270	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
271	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
272	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
273	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
274	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
275	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
276	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
277	C₂³	—	2	4	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	4	1	no	—
280	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
282	Q₈	—	4	2	no	—
283	Q₈	—	8	2	no	—
284	D₄	—	4	2	no	—
285	D₄	—	4	4	no	—
286	D₄	—	4	8	no	—
287	D₄	—	8	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	1	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	8	4	no	—
309	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
316	C₈	—	2	2	no	—
317	C₈	—	2	4	no	—
318	C₈	—	4	8	no	—
319	C₈	—	4	2	no	—
320	C₈	—	4	2	no	—
321	C₈	#410	1	4	yes	—
322	C₂²	—	2	2	no	—
323	C₂²	—	2	2	no	—
324	C₂²	—	2	1	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	4	4	no	—
327	C₂²	—	4	2	no	—
328	C₂²	—	4	4	no	—
329	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	#2956	1	4	yes	—
331	C₄	—	2	2	no	—
332	C₄	—	2	1	no	—
333	C₄	—	2	2	no	—
334	C₄	—	2	2	no	—
335	C₄	—	2	2	no	—
336	C₄	—	2	2	no	—
337	C₄	—	4	8	no	—
338	C₄	—	4	2	no	—
339	C₄	—	4	4	no	—
340	C₄	—	8	4	no	—
341	C₄	C₂×#410	1	2	yes	—
342	C₂	—	2	4	no	—
343	C₂	—	4	1	no	—
344	C₂	—	8	2	no	—
345	C₂	C₄×#410	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#20421	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄
prime radical	#3444	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×#97 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20479	C₂	semidirect
4. #8240	C₂	semidirect
5. #8239	C₂	semidirect
6. #8238	C₂	semidirect
7. #8056	C₂	semidirect
8. #8048	C₂	semidirect
13. #2961	C₄	semidirect
14. #2932	C₄	semidirect
17. #2923	C₄	semidirect
20. #2875	C₄	semidirect
28. #1509	C₄	semidirect
29. #1506	C₄	semidirect
30. #1505	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60207	2
#20479	2
#17543	2
#8240	2
#8239	2
#8238	2
#8056	2
#8048	2