Subgroups — #183046

Order 512.

1602 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 388 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#407	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1455	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#8147	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8146	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8145	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8144	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₈×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#7852	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂³×M₁₆	C₄	1	2	yes	—
11	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#407	C₄	1	4	yes	—
13	C₂×C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
14	C₂×C₄×M₁₆	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×M₁₆	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×#97	C₄	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1749	C₄	1	4	yes	—
25	#1749	C₄	1	4	yes	—
26	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
29	#1728	C₄	1	4	yes	—
30	#1455	—	2	8	no	—
31	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂×#322	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₂×C₈²	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#1273	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#1273	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#1273	C₂²	1	4	yes	complemented
37	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
40	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
41	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
42	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
50	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
51	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#407	—	2	16	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
65	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
66	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
67	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
68	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
69	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
70	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
71	C₄×M₁₆	D₄	1	8	yes	—
72	C₂×#97	—	2	8	no	—
73	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
77	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
89	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
90	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
91	#322	—	2	8	no	—
92	#322	—	2	4	no	—
93	C₈²	—	2	4	no	—
94	C₂⁵	C₄²	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
100	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
101	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
102	C₂³×C₄	C₄²	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₄²	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₄²	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₄²	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₄²	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₄²	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂×M₁₆	—	2	64	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
127	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
128	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
129	C₂×M₁₆	M₁₆	1	8	yes	complemented
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₈	M₁₆	1	8	yes	complemented
136	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
167	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
168	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
169	C₂²⋊C₈	M₁₆	1	16	yes	complemented
170	#97	—	2	4	no	—
171	#97	—	2	4	no	—
172	#97	—	2	4	no	—
173	#97	—	2	16	no	—
174	#97	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
175	C₄×C₈	—	2	4	no	—
176	C₄×C₈	—	2	4	no	—
177	C₄×C₈	—	2	4	no	—
178	C₄×C₈	—	2	4	no	—
179	C₄×C₈	—	2	2	no	—
180	C₄×C₈	—	2	2	no	—
181	C₄×C₈	—	2	4	no	—
182	C₄×C₈	—	2	4	no	—
183	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂⁴	—	2	2	no	—
186	C₂⁴	—	2	2	no	—
187	C₂⁴	—	2	2	no	—
188	C₂⁴	—	2	4	no	—
189	C₂⁴	—	4	2	no	—
190	C₂⁴	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
191	C₂⁴	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
192	C₂⁴	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
243	M₁₆	—	2	16	no	—
244	M₁₆	—	2	16	no	—
245	M₁₆	—	2	16	no	—
246	M₁₆	—	2	16	no	—
247	M₁₆	—	4	32	no	—
248	C₂×C₈	—	2	16	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	8	no	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	8	no	—
257	C₂×C₈	—	2	16	no	—
258	C₂×C₈	—	2	8	no	—
259	C₂×C₈	—	2	8	no	—
260	C₂×C₈	—	2	8	no	—
261	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
262	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
263	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
264	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
265	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
266	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
267	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	16	yes	complemented
268	C₄²	—	2	1	no	—
269	C₄²	—	2	1	no	—
270	C₄²	—	2	1	no	—
271	C₄²	—	2	1	no	—
272	C₄²	—	2	4	no	—
273	C₄²	—	2	4	no	—
274	C₄²	—	2	4	no	—
275	C₄²	—	2	4	no	—
276	C₄²	—	2	4	no	—
277	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
278	C₄²	#117	1	2	yes	—
279	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
280	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
281	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
282	C₂³	—	2	1	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	1	no	—
285	C₂³	—	2	8	no	—
286	C₂³	—	2	1	no	—
287	C₂³	—	2	1	no	—
288	C₂³	—	2	1	no	—
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	2	1	no	—
294	C₂³	—	4	8	no	—
295	C₂³	—	4	8	no	—
296	C₂³	—	4	4	no	—
297	C₂³	—	4	4	no	—
298	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
299	C₂³	C₄×M₁₆	1	2	yes	—
300	C₂³	C₄×M₁₆	1	2	yes	—
301	C₂³	C₄×M₁₆	1	4	yes	—
302	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	1	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	16	no	—
323	C₂×C₄	—	2	16	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	8	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	4	8	no	—
330	C₂×C₄	—	4	8	no	—
331	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	#568	1	4	yes	—
343	C₈	—	2	4	no	—
344	C₈	—	2	4	no	—
345	C₈	—	2	4	no	—
346	C₈	—	2	16	no	—
347	C₈	—	4	8	no	—
348	C₈	#407	1	8	yes	complemented
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	2	4	no	—
352	C₂²	—	2	2	no	—
353	C₂²	—	2	2	no	—
354	C₂²	—	2	2	no	—
355	C₂²	—	2	4	no	—
356	C₂²	—	2	4	no	—
357	C₂²	—	4	16	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	4	1	no	—
360	C₂²	—	4	1	no	—
361	C₂²	—	4	2	no	—
362	C₂²	—	4	1	no	—
363	C₂²	—	4	1	no	—
364	C₂²	#1455	1	4	yes	complemented
365	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	C₂×C₄×M₁₆	1	2	yes	—
369	C₂²	#2873	1	2	yes	—
370	C₄	—	2	2	no	—
371	C₄	—	2	2	no	—
372	C₄	—	2	2	no	—
373	C₄	—	2	4	no	—
374	C₄	—	2	4	no	—
375	C₄	—	4	2	no	—
376	C₄	C₂×#407	1	2	yes	—
377	C₄	#2920	1	2	yes	—
378	C₄	D₄×M₁₆	1	8	yes	—
379	C₂	—	2	4	no	—
380	C₂	—	4	2	no	—
381	C₂	—	4	2	no	—
382	C₂	C₂×#1455	1	1	yes	characteristic
383	C₂	M₁₆²	1	2	yes	—
384	C₂	#17334	1	1	yes	characteristic
385	C₂	C₄×#407	1	1	yes	characteristic
386	C₂	C₂²⋊C₄×M₁₆	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂²×C₄²
prime radical	C₂⁵	C₄²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1455	C₂	semidirect
4. #8147	C₂	semidirect
5. #8146	C₂	semidirect
6. #8145	C₂	semidirect
7. #8144	C₂	semidirect
8. C₈×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
9. #7852	C₂	semidirect
31. C₂×#322	C₂²	semidirect
32. C₂×#322	C₂²	semidirect
33. C₂×C₈²	C₂²	semidirect
34. #1273	C₂²	semidirect
35. #1273	C₂²	semidirect
36. #1273	C₂²	semidirect
129. C₂×M₁₆	M₁₆	semidirect
135. C₂²×C₈	M₁₆	semidirect
169. C₂²⋊C₈	M₁₆	semidirect
267. C₂×C₈	C₂×M₁₆	semidirect
348. C₈	#407	semidirect
364. C₂²	#1455	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×M₁₆	2
C₄×#407	2
C₂×#1455	2
#8147	2
#8146	2
#8145	2
#8144	2
C₈×C₂²⋊C₈	2
#7852	2