Subgroups — #183102

Order 512.

1036 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 389 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2991	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#413	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#17366	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#17327	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8166	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8165	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₈×#101	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#7938	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#2991	—	2	2	no	—
11	#2991	—	2	2	no	—
12	#2991	—	2	4	no	—
13	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#436	C₄	1	4	yes	—
15	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
16	#2920	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#431	C₄	1	2	yes	—
18	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#423	C₄	1	2	yes	—
20	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#413	C₄	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
23	C₄×#101	C₄	1	2	yes	—
24	C₄×#101	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×#101	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×#100	C₄	1	2	yes	—
27	C₄×#100	C₂²	1	2	yes	—
28	#1742	C₄	1	2	yes	—
29	#1465	C₄	1	4	yes	—
30	#1464	C₄	1	4	yes	—
31	#1461	C₂²	1	2	yes	—
32	#1460	C₂²	1	2	yes	—
33	#1453	—	2	4	no	—
34	#1451	—	2	2	no	—
35	#1451	C₂²	1	4	yes	—
36	C₈×M₁₆	—	2	2	no	—
37	C₈×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
38	#1283	C₂²	1	4	yes	—
39	#1283	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₄×#41	—	2	2	no	—
45	C₄×#41	—	2	2	no	—
46	C₄×#41	—	2	2	no	—
47	C₄×#41	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
59	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
60	#436	—	2	8	no	—
61	#436	—	2	8	no	—
62	#436	—	2	4	no	—
63	#436	—	2	4	no	—
64	#432	—	2	2	no	—
65	#432	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	#431	—	2	2	no	—
67	#431	—	2	2	no	—
68	#431	—	2	2	no	—
69	#431	—	2	4	no	—
70	#431	D₄	1	2	yes	—
71	#431	D₄	1	2	yes	—
72	#431	D₄	1	4	yes	—
73	#431	C₂³	1	4	yes	—
74	#423	—	2	2	no	—
75	#423	—	2	2	no	—
76	#423	—	2	2	no	—
77	#423	—	2	4	no	—
78	#423	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	#413	—	2	8	no	—
85	C₂×#101	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×#101	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₂×#100	C₂×C₄	1	4	yes	—
88	#407	C₂×C₄	1	4	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
92	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
93	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
94	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
95	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
96	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×#97	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
101	#343	C₂×C₄	1	2	yes	—
102	#343	C₂×C₄	1	2	yes	—
103	#343	C₂×C₄	1	4	yes	—
104	#324	C₂×C₄	1	8	yes	—
105	#323	C₂×C₄	1	8	yes	—
106	#322	—	2	4	no	—
107	#322	—	2	4	no	—
108	#322	—	2	4	no	—
109	C₈²	—	2	4	no	—
110	C₂×#41	—	2	4	no	—
111	C₂×#41	—	2	2	no	—
112	C₂×#41	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	—	4	2	no	—
114	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×D₄	C₄²	1	2	yes	—
116	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	C₄²	1	2	yes	—
118	C₂³×C₄	C₄²	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
128	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
131	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
132	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
138	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
139	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
140	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄×D₄	—	2	4	no	—
142	C₄×D₄	—	2	4	no	—
143	C₄×D₄	—	2	4	no	—
144	C₄×D₄	—	2	4	no	—
145	C₄×D₄	—	2	2	no	—
146	C₄×D₄	—	2	2	no	—
147	C₄×D₄	—	2	2	no	—
148	C₄×D₄	—	2	2	no	—
149	#117	—	2	2	no	—
150	#117	—	2	2	no	—
151	#117	—	2	4	no	—
152	#117	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	2	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₂²⋊C₄	C₄²	1	2	yes	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	C₄²	1	2	yes	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
175	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
176	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
177	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
181	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
182	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
183	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
186	#101	—	2	4	no	—
187	#101	M₁₆	1	8	yes	complemented
188	#100	—	2	8	no	—
189	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
190	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
191	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
192	C₂²⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
193	C₂²⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
194	C₂²⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
195	#97	—	2	4	no	—
196	#97	—	2	4	no	—
197	#97	—	2	2	no	—
198	#97	—	2	2	no	—
199	C₄×C₈	—	2	4	no	—
200	C₄×C₈	—	2	4	no	—
201	C₄×C₈	—	2	4	no	—
202	C₄×C₈	—	2	2	no	—
203	C₄×C₈	—	2	4	no	—
204	C₄×C₈	—	2	2	no	—
205	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
206	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
207	C₂⁴	C₂×C₄²	1	2	yes	—
208	C₂⁴	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
209	#41	—	4	8	no	—
210	#41	—	4	8	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
213	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	2	no	—
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	—	2	2	no	—
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
251	M₁₆	—	2	4	no	—
252	M₁₆	—	2	4	no	—
253	M₁₆	—	2	4	no	—
254	M₁₆	—	4	8	no	—
255	M₁₆	—	4	8	no	—
256	M₁₆	—	8	8	no	—
257	M₁₆	—	8	4	no	—
258	M₁₆	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	2	4	no	—
262	C₂×C₈	—	2	8	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	—	4	8	no	—
266	C₂×C₈	—	4	4	no	—
267	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
269	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄²	—	2	2	no	—
278	C₄²	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	2	2	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₄²	—	2	2	no	—
283	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
284	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
285	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
286	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
287	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
288	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
289	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
290	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
291	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
292	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
293	C₂³	—	2	1	no	—
294	C₂³	—	2	1	no	—
295	C₂³	—	2	2	no	—
296	C₂³	—	2	2	no	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	4	1	no	—
299	C₂³	—	4	1	no	—
300	C₂³	—	4	2	no	—
301	C₂³	—	4	2	no	—
302	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
303	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
304	Q₈	—	2	8	no	—
305	D₄	—	4	8	no	—
306	D₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	1	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	1	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
346	C₈	—	2	4	no	—
347	C₈	—	2	2	no	—
348	C₈	—	2	2	no	—
349	C₈	—	2	8	no	—
350	C₈	—	4	8	no	—
351	C₈	—	4	4	no	—
352	C₈	—	4	4	no	—
353	C₂²	—	2	1	no	—
354	C₂²	—	2	1	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	4	2	no	—
360	C₂²	—	4	2	no	—
361	C₂²	—	8	1	no	—
362	C₂²	—	8	1	no	—
363	C₂²	—	8	2	no	—
364	C₂²	—	8	2	no	—
365	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#2873	1	1	yes	characteristic
368	C₄	—	2	1	no	—
369	C₄	—	2	1	no	—
370	C₄	—	2	4	no	—
371	C₄	—	2	1	no	—
372	C₄	—	2	2	no	—
373	C₄	—	2	2	no	—
374	C₄	—	2	1	no	—
375	C₄	—	4	2	no	—
376	C₄	—	4	2	no	—
377	C₄	#1757	1	2	yes	—
378	C₄	#2888	1	1	yes	characteristic
379	C₄	#2889	1	1	yes	characteristic
380	C₄	D₄×M₁₆	1	4	yes	—
381	C₂	—	2	1	no	—
382	C₂	—	2	1	no	—
383	C₂	—	4	2	no	—
384	C₂	—	8	2	no	—
385	C₂	C₂²⋊C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#20397	1	1	yes	characteristic
387	C₂	C₂×#1757	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×#431 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #17327	C₂	semidirect
5. #8166	C₂	semidirect
6. #8165	C₂	semidirect
7. C₈×#101	C₂	semidirect
8. #7938	C₂	semidirect
187. #101	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2991	2
C₄×#413	2
#17366	2
#17327	2
#8166	2
#8165	2
C₈×#101	2
#7938	2