Subgroups — #183240

Order 512.

1254 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 422 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34211	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20479	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂²×#329	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#8226	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8224	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₄×#329	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8034	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#519	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#518	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
14	#2367	—	2	4	no	—
15	#2342	—	2	2	no	—
16	#2342	—	2	2	no	—
17	#2326	C₄	1	2	yes	—
18	#2326	C₄	1	2	yes	—
19	#2310	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#2309	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₄×#124	C₂²	1	2	yes	—
22	C₄×#124	C₂²	1	2	yes	—
23	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1771	—	2	4	no	—
26	#1752	—	2	2	no	—
27	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
28	#1745	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₄×#97	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#1533	C₄	1	8	yes	complemented
31	C₂×#329	C₄	1	8	yes	complemented
32	C₂×#329	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#329	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#329	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#329	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#329	C₂²	1	2	yes	—
37	#1295	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#1295	C₂²	1	4	yes	complemented
39	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
42	C₂×#124	—	2	2	no	—
43	C₂×#124	—	2	4	no	—
44	C₂×#124	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#124	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×#124	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#124	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#519	—	4	4	no	—
51	#518	—	4	4	no	—
52	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×#117	—	2	1	no	—
59	C₂×#117	—	2	1	no	—
60	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#432	—	2	4	no	—
69	#432	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
70	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×#97	—	2	2	no	—
73	C₂×#97	—	2	4	no	—
74	C₂×#97	—	2	4	no	—
75	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
76	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
80	#391	—	2	2	no	—
81	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#390	—	2	2	no	—
84	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#388	—	2	4	no	—
87	#388	—	2	4	no	—
88	#388	—	2	4	no	—
89	#388	—	2	4	no	—
90	#385	—	2	4	no	—
91	#385	—	2	4	no	—
92	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#382	C₂³	1	2	yes	—
94	#381	—	2	2	no	—
95	#380	—	2	2	no	—
96	#379	—	2	2	no	—
97	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
98	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
99	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
100	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
101	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
102	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
103	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
104	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
105	#336	—	2	4	no	—
106	#336	—	2	4	no	—
107	#329	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
108	#329	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
109	#329	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
110	#329	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
111	#329	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
112	C₂⁵	—	2	1	no	—
113	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
116	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
117	C₂²×Q₈	C₄²	1	4	yes	—
118	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
124	C₂²×D₄	C₄²	1	4	yes	—
125	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
137	#124	—	2	2	no	—
138	#124	—	2	2	no	—
139	#124	—	2	8	no	—
140	#124	—	2	8	no	—
141	#124	—	2	2	no	—
142	#124	—	2	2	no	—
143	#124	C₄²	1	4	yes	—
144	#124	C₄²	1	4	yes	—
145	#124	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	#124	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	#124	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	#124	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
150	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
151	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
152	C₄×D₄	—	4	4	no	—
153	C₄×D₄	—	4	4	no	—
154	C₄×D₄	—	4	8	no	—
155	#117	—	2	4	no	—
156	#117	—	4	2	no	—
157	#117	—	4	4	no	—
158	#117	—	4	4	no	—
159	#117	—	4	2	no	—
160	#117	—	4	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
199	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
201	#97	—	2	8	no	—
202	#97	—	2	2	no	—
203	#97	—	2	2	no	—
204	#97	—	2	4	no	—
205	#97	—	4	8	no	—
206	#97	C₂²×C₄	1	4	yes	—
207	#97	C₂²×C₄	1	4	yes	—
208	#97	C₂²×C₄	1	8	yes	—
209	C₄×C₈	—	4	8	no	—
210	#95	—	2	4	no	—
211	#95	—	2	4	no	—
212	#95	—	2	4	no	—
213	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
214	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
215	C₂⁴	—	2	1	no	—
216	C₂⁴	—	2	1	no	—
217	C₂⁴	—	2	4	no	—
218	C₂⁴	—	4	2	no	—
219	C₂⁴	—	4	2	no	—
220	C₂⁴	—	8	4	no	—
221	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
233	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
234	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
235	C₂×D₄	—	2	1	no	—
236	C₂×D₄	—	2	1	no	—
237	C₂×D₄	—	2	4	no	—
238	C₂×D₄	—	4	1	no	—
239	C₂×D₄	—	4	1	no	—
240	C₂×D₄	—	4	8	no	—
241	C₂×D₄	—	4	1	no	—
242	C₂×D₄	—	4	1	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	8	no	—
246	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
247	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
262	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
273	C₂×C₈	—	2	8	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	4	no	—
276	C₂×C₈	—	2	8	no	—
277	C₂×C₈	—	4	16	no	—
278	C₂×C₈	—	4	4	no	—
279	C₂×C₈	—	4	4	no	—
280	C₂×C₈	—	4	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
302	C₂²⋊C₄	#100	1	4	yes	—
303	C₄²	—	2	4	no	—
304	C₄²	—	4	4	no	—
305	C₄²	—	4	4	no	—
306	C₄²	—	4	2	no	—
307	C₄²	—	4	2	no	—
308	C₄²	—	4	2	no	—
309	C₄²	—	4	4	no	—
310	C₄²	—	4	4	no	—
311	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
312	C₄²	#117	1	2	yes	—
313	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
314	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
315	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
316	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
317	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
318	C₂³	—	2	4	no	—
319	C₂³	—	2	2	no	—
320	C₂³	—	2	2	no	—
321	C₂³	—	4	1	no	—
322	C₂³	—	4	1	no	—
323	C₂³	—	4	1	no	—
324	C₂³	—	4	1	no	—
325	C₂³	—	4	4	no	—
326	C₂³	—	4	4	no	—
327	C₂³	—	4	8	no	—
328	C₂³	—	8	8	no	—
329	C₂³	—	16	4	no	—
330	C₂³	—	16	4	no	—
331	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
332	C₂³	C₂×#100	1	2	yes	—
333	C₂³	#413	1	2	yes	—
334	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
335	Q₈	—	4	2	no	—
336	Q₈	—	4	2	no	—
337	Q₈	—	4	2	no	—
338	Q₈	—	4	2	no	—
339	Q₈	—	4	8	no	—
340	D₄	—	4	2	no	—
341	D₄	—	4	2	no	—
342	D₄	—	4	2	no	—
343	D₄	—	4	2	no	—
344	D₄	—	4	8	no	—
345	C₂×C₄	—	2	1	no	—
346	C₂×C₄	—	2	1	no	—
347	C₂×C₄	—	2	1	no	—
348	C₂×C₄	—	2	1	no	—
349	C₂×C₄	—	2	4	no	—
350	C₂×C₄	—	2	4	no	—
351	C₂×C₄	—	2	4	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	4	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	2	4	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	2	4	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	2	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	1	no	—
364	C₂×C₄	—	4	1	no	—
365	C₂×C₄	—	4	1	no	—
366	C₂×C₄	—	4	1	no	—
367	C₂×C₄	—	4	8	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	2	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	4	4	no	—
372	C₂×C₄	—	16	4	no	—
373	C₂×C₄	—	16	4	no	—
374	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
375	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
377	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
381	C₈	—	2	8	no	—
382	C₈	—	4	8	no	—
383	C₈	—	4	4	no	—
384	C₂²	—	2	4	no	—
385	C₂²	—	2	4	no	—
386	C₂²	—	2	4	no	—
387	C₂²	—	4	2	no	—
388	C₂²	—	4	2	no	—
389	C₂²	—	4	4	no	—
390	C₂²	—	4	4	no	—
391	C₂²	—	8	2	no	—
392	C₂²	—	8	2	no	—
393	C₂²	—	8	2	no	—
394	C₂²	—	8	2	no	—
395	C₂²	—	16	8	no	—
396	C₂²	C₄×#100	1	4	yes	—
397	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
399	C₂²	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
400	C₂²	#2901	1	4	yes	—
401	C₄	—	2	4	no	—
402	C₄	—	2	1	no	—
403	C₄	—	2	2	no	—
404	C₄	—	2	1	no	—
405	C₄	—	2	2	no	—
406	C₄	—	2	2	no	—
407	C₄	—	2	4	no	—
408	C₄	—	4	2	no	—
409	C₄	—	4	4	no	—
410	C₄	—	4	2	no	—
411	C₄	—	4	2	no	—
412	C₄	—	8	2	no	—
413	C₄	—	8	2	no	—
414	C₂	—	2	4	no	—
415	C₂	—	8	2	no	—
416	C₂	—	8	2	no	—
417	C₂	#17685	1	2	yes	—
418	C₂	#17686	1	2	yes	—
419	C₂	C₂×C₄×#100	1	1	yes	characteristic
420	C₂	#20405	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20479	C₂	semidirect
5. #8226	C₂	semidirect
6. #8224	C₂	semidirect
7. C₄×#329	C₂	semidirect
8. #8034	C₂	semidirect
28. #1745	C₂²	semidirect
29. C₄×#97	C₂²	semidirect
30. #1533	C₄	semidirect
31. C₂×#329	C₄	semidirect
37. #1295	C₂²	semidirect
38. #1295	C₂²	semidirect
69. #432	C₂×C₄	semidirect
75. C₂×#97	C₂×C₄	semidirect
107. #329	C₂×C₄	semidirect
108. #329	C₂×C₄	semidirect
109. #329	C₂×C₄	semidirect
110. #329	C₂×C₄	semidirect
111. #329	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34211	2
#20479	2
C₂×#1533	2
C₂²×#329	2
#8226	2
#8224	2
C₄×#329	2
#8034	2