Subgroups — #183455

Order 512.

888 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 322 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21359	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20437	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1570	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1450	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#8290	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₈×#106	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#7901	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#7893	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#405	—	2	1	no	—
15	C₂²×C₄×C₈	—	2	1	no	—
16	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#1948	C₄	1	4	yes	—
20	#1853	C₄	1	4	yes	—
21	C₄×#106	C₂²	1	4	yes	—
22	#1770	—	2	1	no	—
23	#1770	C₂²	1	2	yes	—
24	C₈×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
25	C₈×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
26	C₈×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
27	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
29	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	#1729	—	2	1	no	—
31	C₂×#336	—	2	1	no	—
32	#1570	C₄	1	8	yes	complemented
33	C₂×#334	C₂²	1	4	yes	—
34	#1450	C₄	1	8	yes	complemented
35	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₈²	C₂²	1	2	yes	—
37	#1279	C₂²	1	4	yes	—
38	#1279	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
40	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
41	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#117	—	2	1	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
46	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	#431	—	2	2	no	—
48	#431	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	#431	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	#431	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×#106	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	#423	—	2	2	no	—
53	#423	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
56	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	#405	—	4	4	no	—
65	C₂×#97	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	4	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#382	—	2	1	no	—
80	#380	—	2	1	no	—
81	#380	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
83	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×#95	—	2	1	no	—
89	#340	C₂×C₄	1	8	yes	—
90	#336	—	2	2	no	—
91	#336	—	2	2	no	—
92	#336	—	2	2	no	—
93	#336	—	2	2	no	—
94	#334	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
95	#322	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
96	C₈²	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
97	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
98	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
101	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
102	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
103	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
112	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
113	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
114	C₂²×C₈	SD₁₆	1	4	yes	—
115	C₂²×C₈	SD₁₆	1	4	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	#117	—	4	2	no	—
122	#117	—	4	2	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
134	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
135	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
143	#106	—	2	16	no	—
144	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
145	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
146	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
147	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊C₈	C₄²	1	8	yes	—
150	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
151	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
153	C₂²⋊C₈	C₄²	1	8	yes	—
154	#97	—	4	4	no	—
155	C₄×C₈	—	2	2	no	—
156	C₄×C₈	—	4	4	no	—
157	C₄×C₈	—	4	4	no	—
158	C₄×C₈	—	4	4	no	—
159	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
160	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
161	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
162	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
163	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
164	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
165	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
166	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
167	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
168	#95	—	2	2	no	—
169	#95	—	2	2	no	—
170	#95	—	2	2	no	—
171	#95	—	2	2	no	—
172	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
180	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
182	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
196	M₁₆	—	4	8	no	—
197	C₂×C₈	—	2	8	no	—
198	C₂×C₈	—	2	1	no	—
199	C₂×C₈	—	2	1	no	—
200	C₂×C₈	—	2	1	no	—
201	C₂×C₈	—	2	1	no	—
202	C₂×C₈	—	2	8	no	—
203	C₂×C₈	—	2	4	no	—
204	C₂×C₈	—	2	4	no	—
205	C₂×C₈	—	2	4	no	—
206	C₂×C₈	—	4	4	no	—
207	C₂×C₈	—	4	2	no	—
208	C₂×C₈	—	4	2	no	—
209	C₂×C₈	—	4	2	no	—
210	C₂×C₈	—	4	2	no	—
211	C₂×C₈	—	4	8	no	—
212	C₂×C₈	#106	1	16	yes	complemented
213	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	8	yes	—
214	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
215	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
216	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
217	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
218	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
219	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
220	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
221	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
222	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
227	C₄⋊C₄	#131	1	8	yes	—
228	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
229	C₄²	—	4	2	no	—
230	C₄²	—	4	2	no	—
231	C₄²	—	4	2	no	—
232	C₄²	—	4	2	no	—
233	C₄²	—	4	4	no	—
234	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
235	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
236	C₄²	#117	1	2	yes	—
237	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
238	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
239	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
240	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
241	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
242	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
243	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
244	C₂³	—	2	2	no	—
245	C₂³	—	2	2	no	—
246	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
247	C₂³	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
248	C₂³	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
249	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	8	no	—
256	C₂×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂×C₄	—	4	16	no	—
259	C₂×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
267	C₂×C₄	C₂×#106	1	4	yes	—
268	C₂×C₄	#427	1	4	yes	—
269	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	4	yes	—
270	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	4	yes	—
271	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	C₂×#131	1	4	yes	—
280	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
284	C₈	—	2	8	no	—
285	C₈	—	2	2	no	—
286	C₈	—	2	2	no	—
287	C₈	—	4	4	no	—
288	C₈	—	4	4	no	—
289	C₈	—	4	4	no	—
290	C₈	C₂×#106	1	4	yes	—
291	C₈	C₂×#106	1	4	yes	—
292	C₂²	—	2	2	no	—
293	C₂²	—	2	2	no	—
294	C₂²	—	2	4	no	—
295	C₂²	—	2	4	no	—
296	C₂²	C₄×#106	1	4	yes	—
297	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	#2929	1	2	yes	—
299	C₂²	C₂×C₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	C₂×C₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	#2955	1	2	yes	—
302	C₄	—	2	2	no	—
303	C₄	—	2	1	no	—
304	C₄	—	2	1	no	—
305	C₄	—	2	2	no	—
306	C₄	—	4	8	no	—
307	C₄	—	8	4	no	—
308	C₄	C₄×#106	1	4	yes	—
309	C₄	C₄×#131	1	2	yes	—
310	C₄	C₂²×#106	1	1	yes	characteristic
311	C₄	C₂×#427	1	1	yes	characteristic
312	C₄	C₂×C₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
313	C₄	C₂×C₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
314	C₄	#2960	1	2	yes	—
315	C₂	—	2	4	no	—
316	C₂	#17901	1	2	yes	—
317	C₂	#17902	1	2	yes	—
318	C₂	#20435	1	1	yes	characteristic
319	C₂	#20444	1	1	yes	characteristic
320	C₂	C₂×C₄×#106	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₈	C₂×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₄×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #8290	C₂	semidirect
7. C₈×#106	C₂	semidirect
32. #1570	C₄	semidirect
34. #1450	C₄	semidirect
94. #334	C₂×C₄	semidirect
95. #322	C₂×C₄	semidirect
96. C₈²	C₂×C₄	semidirect
212. C₂×C₈	#106	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21359	2
#20437	2
C₂×C₈×C₄⋊C₄	2
C₂×#1570	2
C₂×#1450	2
#8290	2
C₈×#106	2
#7901	2
#7893	2