Subgroups — #183521

Order 512.

724 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 288 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20826	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#17793	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#17323	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂²×#322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#8295	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8294	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#7885	C₂	1	2	yes	maximal
8	#2920	C₂²	1	2	yes	—
9	#2920	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#1848	C₄	1	2	yes	—
14	#1837	C₄	1	2	yes	—
15	#1810	C₄	1	4	yes	—
16	C₄×#108	C₂²	1	4	yes	—
17	#1568	C₄	1	4	yes	—
18	#1567	C₄	1	2	yes	—
19	#1566	C₄	1	2	yes	—
20	#1564	C₂²	1	4	yes	—
21	#1452	—	2	2	no	—
22	#1451	—	2	2	no	—
23	#1451	C₂²	1	4	yes	—
24	#1450	—	2	2	no	—
25	C₈×M₁₆	—	2	2	no	—
26	C₈×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#322	C₄	1	2	yes	—
28	C₂×#322	C₄	1	2	yes	—
29	C₂×#322	C₄	1	4	yes	—
30	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
32	#1278	C₂²	1	8	yes	—
33	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
34	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂³×C₈	Q₈	1	2	yes	—
36	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	#432	—	2	2	no	—
38	#432	—	2	2	no	—
39	#432	—	2	2	no	—
40	#432	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	#431	—	2	2	no	—
42	#431	—	2	2	no	—
43	#431	—	2	2	no	—
44	#431	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	#423	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	#423	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	#407	—	2	2	no	—
49	#407	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
51	C₄×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	2	yes	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	#341	C₂×C₄	1	8	yes	—
75	#335	C₂×C₄	1	8	yes	—
76	#334	C₂×C₄	1	8	yes	—
77	#322	—	2	4	no	—
78	#322	—	2	4	no	—
79	#322	—	2	4	no	—
80	#322	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	#322	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	#322	C₂×C₄	1	4	yes	—
83	#322	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	C₈²	—	2	4	no	—
85	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
88	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
89	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
90	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
91	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
95	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
96	C₂²×C₈	C₄²	1	2	yes	—
97	C₂²×C₈	C₄²	1	2	yes	—
98	C₂²×C₈	C₄²	1	2	yes	—
99	C₂²×C₈	C₄²	1	2	yes	—
100	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
101	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
102	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
106	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
118	#108	—	2	16	no	—
119	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
120	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
121	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
122	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
123	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
124	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
125	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
126	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
127	#97	—	2	4	no	—
128	#97	—	2	4	no	—
129	C₄×C₈	—	2	2	no	—
130	C₄×C₈	—	2	2	no	—
131	C₄×C₈	—	2	4	no	—
132	C₄×C₈	—	2	4	no	—
133	C₄×C₈	—	2	2	no	—
134	C₄×C₈	C₄²	1	1	yes	characteristic
135	C₄×C₈	C₄²	1	1	yes	characteristic
136	C₄×C₈	C₄²	1	2	yes	—
137	C₄×C₈	C₄²	1	1	yes	characteristic
138	C₄×C₈	C₄²	1	1	yes	characteristic
139	C₄×C₈	C₄²	1	2	yes	—
140	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
141	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
142	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
143	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂⁴	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
173	M₁₆	—	2	16	no	—
174	M₁₆	—	4	8	no	—
175	C₂×C₈	—	2	4	no	—
176	C₂×C₈	—	2	8	no	—
177	C₂×C₈	—	2	4	no	—
178	C₂×C₈	—	2	4	no	—
179	C₂×C₈	—	2	4	no	—
180	C₂×C₈	—	2	4	no	—
181	C₂×C₈	—	2	4	no	—
182	C₂×C₈	—	2	8	no	—
183	C₂×C₈	—	2	8	no	—
184	C₂×C₈	—	4	4	no	—
185	C₂×C₈	—	4	2	no	—
186	C₂×C₈	—	4	2	no	—
187	C₂×C₈	—	4	4	no	—
188	C₂×C₈	—	4	4	no	—
189	C₂×C₈	—	4	4	no	—
190	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
191	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
192	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
193	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
194	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
195	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
196	C₂×C₈	#131	1	8	yes	—
197	C₄²	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
198	C₄²	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
199	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
200	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
201	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
202	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
203	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₄²	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
208	C₄²	C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
209	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
210	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
213	C₂³	—	2	2	no	—
214	C₂³	—	2	2	no	—
215	C₂³	—	2	2	no	—
216	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₄	#430	1	4	yes	—
241	C₂×C₄	#444	1	4	yes	—
242	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₄	C₂×#131	1	4	yes	—
249	C₈	—	2	2	no	—
250	C₈	—	2	2	no	—
251	C₈	—	2	4	no	—
252	C₈	—	2	4	no	—
253	C₈	—	4	4	no	—
254	C₈	—	4	8	no	—
255	C₈	—	4	8	no	—
256	C₈	#405	1	4	yes	—
257	C₈	#405	1	4	yes	—
258	C₂²	—	2	8	no	—
259	C₂²	—	2	1	no	—
260	C₂²	—	2	1	no	—
261	C₂²	—	2	1	no	—
262	C₂²	—	2	1	no	—
263	C₂²	—	2	1	no	—
264	C₂²	—	2	1	no	—
265	C₂²	#1773	1	2	yes	—
266	C₂²	#1778	1	2	yes	—
267	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂²	#2960	1	2	yes	—
269	C₄	—	2	1	no	—
270	C₄	—	2	1	no	—
271	C₄	—	2	1	no	—
272	C₄	—	2	1	no	—
273	C₄	—	2	1	no	—
274	C₄	—	2	1	no	—
275	C₄	#1773	1	2	yes	—
276	C₄	#1778	1	2	yes	—
277	C₄	C₂×#405	1	2	yes	—
278	C₄	C₂×#430	1	2	yes	—
279	C₄	#2931	1	2	yes	—
280	C₄	C₂×#444	1	2	yes	—
281	C₂	—	2	2	no	—
282	C₂	—	2	2	no	—
283	C₂	—	2	2	no	—
284	C₂	#20437	1	1	yes	characteristic
285	C₂	C₂×#1773	1	1	yes	characteristic
286	C₂	C₂×#1778	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄²	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄
prime radical	C₂⁴	C₄×Q₈
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄² ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #8295	C₂	semidirect
6. #8294	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20826	2
#17793	2
#17323	2
C₂²×#322	2
#8295	2
#8294	2
#7885	2