Subgroups — #183587

Order 512.

846 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 332 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20549	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₄×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1569	C₂	1	2	yes	maximal
4	#8276	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8275	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8273	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₄×#335	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#334	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#7875	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#7874	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#405	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×#405	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#1771	—	2	2	no	—
20	#1771	—	2	2	no	—
21	#1767	C₂²	1	2	yes	—
22	#1767	C₂²	1	2	yes	—
23	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
25	#1753	—	2	2	no	—
26	#1753	—	2	2	no	—
27	#1726	C₄	1	2	yes	—
28	#1726	C₄	1	2	yes	—
29	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1569	C₄	1	16	yes	complemented
34	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
38	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1277	C₂²	1	2	yes	—
43	#1277	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
45	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#432	—	2	4	no	—
51	#432	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	#423	—	2	4	no	—
53	#423	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
60	#405	—	2	8	no	—
61	#405	—	2	8	no	—
62	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₂×#97	—	2	2	no	—
64	C₂×#97	—	2	2	no	—
65	C₂×#97	—	2	2	no	—
66	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₄×C₄⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
87	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₄×C₂²⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
90	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#336	—	2	2	no	—
94	#336	—	2	2	no	—
95	#336	—	2	2	no	—
96	#336	—	2	2	no	—
97	#335	C₂×C₄	1	8	yes	—
98	#335	C₂×C₄	1	8	yes	—
99	#334	C₂×C₄	1	8	yes	—
100	#334	C₂×C₄	1	8	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
104	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
107	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
109	C₂×M₁₆	C₄²	1	4	yes	—
110	C₂×M₁₆	C₄²	1	4	yes	—
111	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	#117	—	2	4	no	—
125	#117	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
144	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
145	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
150	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
151	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
154	#97	—	2	4	no	—
155	#97	—	2	4	no	—
156	#97	—	2	8	no	—
157	#97	—	2	4	no	—
158	#97	—	8	2	no	—
159	#97	—	8	2	no	—
160	#97	C₄²	1	4	yes	—
161	#97	C₄²	1	4	yes	—
162	#97	M₁₆	1	8	yes	complemented
163	C₄×C₈	—	2	4	no	—
164	C₄×C₈	—	2	4	no	—
165	C₄×C₈	—	2	4	no	—
166	C₄×C₈	—	2	4	no	—
167	C₄×C₈	—	2	2	no	—
168	C₄×C₈	—	2	2	no	—
169	C₄×C₈	—	8	2	no	—
170	C₄×C₈	—	8	2	no	—
171	C₄×C₈	M₁₆	1	8	yes	complemented
172	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
173	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
174	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
175	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
176	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
177	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
178	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
199	M₁₆	—	2	8	no	—
200	M₁₆	—	2	8	no	—
201	M₁₆	—	8	8	no	—
202	C₂×C₈	—	2	16	no	—
203	C₂×C₈	—	2	2	no	—
204	C₂×C₈	—	2	2	no	—
205	C₂×C₈	—	2	2	no	—
206	C₂×C₈	—	2	2	no	—
207	C₂×C₈	—	2	2	no	—
208	C₂×C₈	—	2	2	no	—
209	C₂×C₈	—	2	4	no	—
210	C₂×C₈	—	2	4	no	—
211	C₂×C₈	—	2	4	no	—
212	C₂×C₈	—	2	4	no	—
213	C₂×C₈	—	4	2	no	—
214	C₂×C₈	—	4	2	no	—
215	C₂×C₈	—	4	2	no	—
216	C₂×C₈	—	4	2	no	—
217	C₂×C₈	—	4	2	no	—
218	C₂×C₈	—	4	2	no	—
219	C₂×C₈	—	4	2	no	—
220	C₂×C₈	—	4	2	no	—
221	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
222	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
223	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
224	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
225	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
226	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
227	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
228	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
229	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₄²	—	2	2	no	—
234	C₄²	—	2	2	no	—
235	C₄²	—	2	1	no	—
236	C₄²	—	2	1	no	—
237	C₄²	—	2	2	no	—
238	C₄²	—	2	2	no	—
239	C₄²	—	2	1	no	—
240	C₄²	—	2	1	no	—
241	C₄²	—	4	2	no	—
242	C₄²	—	4	2	no	—
243	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
244	C₄²	#117	1	2	yes	—
245	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
246	C₄²	C₄×Q₈	1	4	yes	—
247	C₄²	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
248	C₄²	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
249	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
250	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	2	1	no	—
253	C₂³	—	2	1	no	—
254	C₂³	—	2	2	no	—
255	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
256	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	#423	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	#423	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
292	C₈	—	2	2	no	—
293	C₈	—	2	2	no	—
294	C₈	—	2	4	no	—
295	C₈	—	2	4	no	—
296	C₈	—	4	4	no	—
297	C₈	—	4	4	no	—
298	C₈	—	4	4	no	—
299	C₈	—	4	4	no	—
300	C₈	C₄×M₁₆	1	4	yes	—
301	C₈	C₄×M₁₆	1	4	yes	—
302	C₂²	—	2	2	no	—
303	C₂²	—	2	2	no	—
304	C₂²	—	2	2	no	—
305	C₂²	—	4	2	no	—
306	C₂²	—	4	2	no	—
307	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	C₂×#423	1	2	yes	—
309	C₂²	#2912	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	#2913	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	#2916	1	2	yes	—
312	C₄	—	2	4	no	—
313	C₄	—	2	4	no	—
314	C₄	—	2	2	no	—
315	C₄	—	2	2	no	—
316	C₄	—	2	2	no	—
317	C₄	—	2	2	no	—
318	C₄	—	4	2	no	—
319	C₄	—	4	2	no	—
320	C₄	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
321	C₄	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
322	C₄	#2920	1	2	yes	—
323	C₄	#2946	1	2	yes	—
324	C₄	#2947	1	2	yes	—
325	C₂	—	4	2	no	—
326	C₂	#17798	1	2	yes	—
327	C₂	#17799	1	2	yes	—
328	C₂	C₄×#423	1	1	yes	characteristic
329	C₂	#20453	1	1	yes	characteristic
330	C₂	#20459	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #8276	C₂	semidirect
5. #8275	C₂	semidirect
6. #8274	C₂	semidirect
7. #8273	C₂	semidirect
8. C₄×#335	C₂	semidirect
9. C₄×#334	C₂	semidirect
33. #1569	C₄	semidirect
162. #97	M₁₆	semidirect
171. C₄×C₈	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20549	2
C₄×#405	2
C₂×#1569	2
#8276	2
#8275	2
#8274	2
#8273	2
C₄×#335	2
C₄×#334	2
#7875	2
#7874	2