Subgroups — #183644

Order 512.

742 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 270 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20817	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20537	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1450	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#8287	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8284	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8282	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×#107	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#7900	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2285	C₂²	1	2	yes	—
15	#1845	C₄	1	2	yes	—
16	#1834	C₄	1	2	yes	—
17	#1808	C₄	1	2	yes	—
18	#1808	C₄	1	2	yes	—
19	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
20	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
21	#1771	—	2	4	no	—
22	#1770	C₂²	1	4	yes	—
23	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
24	#1750	—	2	4	no	—
25	#1568	C₄	1	8	yes	complemented
26	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
28	#1450	C₄	1	8	yes	complemented
29	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1279	C₂²	1	4	yes	—
34	#1279	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#117	—	2	2	no	—
38	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	#432	—	2	4	no	—
40	#432	C₂×C₄	1	8	yes	—
41	#431	—	2	2	no	—
42	#431	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	#431	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	#431	Q₈	1	4	yes	—
45	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
51	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
52	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
53	C₂×#97	—	2	2	no	—
54	C₂×#97	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	#382	—	2	2	no	—
68	#380	—	2	2	no	—
69	#380	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
71	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
72	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	#336	—	2	4	no	—
75	#336	—	2	4	no	—
76	#335	C₂×C₄	1	8	yes	—
77	#334	C₂×C₄	1	8	yes	—
78	#322	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	#322	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	C₈²	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	C₈²	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
86	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
87	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
88	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
89	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
90	C₂²×C₈	C₄²	1	4	yes	—
91	C₂²×C₈	C₄²	1	4	yes	—
92	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	#117	—	8	4	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
103	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
109	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
111	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
112	#107	—	2	8	no	—
113	#107	—	2	8	no	—
114	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
115	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
116	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
117	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
118	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
119	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
120	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
121	#97	—	2	8	no	—
122	#97	—	8	4	no	—
123	C₄×C₈	—	2	1	no	—
124	C₄×C₈	—	2	1	no	—
125	C₄×C₈	—	8	4	no	—
126	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
127	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
128	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
137	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
138	#95	—	2	4	no	—
139	#95	—	2	4	no	—
140	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
146	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
147	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
150	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
155	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₈	—	2	2	no	—
160	C₂×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂×C₈	—	2	2	no	—
162	C₂×C₈	—	2	2	no	—
163	C₂×C₈	—	2	2	no	—
164	C₂×C₈	—	2	2	no	—
165	C₂×C₈	—	2	8	no	—
166	C₂×C₈	—	2	8	no	—
167	C₂×C₈	—	2	2	no	—
168	C₂×C₈	—	2	2	no	—
169	C₂×C₈	—	2	8	no	—
170	C₂×C₈	—	4	2	no	—
171	C₂×C₈	—	4	2	no	—
172	C₂×C₈	—	4	4	no	—
173	C₂×C₈	—	4	4	no	—
174	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
175	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
176	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
177	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
178	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
180	C₂×C₈	#131	1	4	yes	—
181	C₂×C₈	#131	1	4	yes	—
182	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
185	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
186	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
187	C₄²	—	4	4	no	—
188	C₄²	—	4	4	no	—
189	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
190	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
191	C₄²	#117	1	2	yes	—
192	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
193	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
194	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
195	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
198	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
199	C₂³	—	2	2	no	—
200	C₂³	—	2	1	no	—
201	C₂³	—	2	1	no	—
202	C₂³	—	2	2	no	—
203	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
204	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂×C₄	—	4	8	no	—
218	C₂×C₄	—	4	8	no	—
219	C₂×C₄	—	4	8	no	—
220	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
222	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
223	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
230	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
231	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
232	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
233	C₈	—	2	2	no	—
234	C₈	—	2	2	no	—
235	C₈	—	2	4	no	—
236	C₈	—	2	4	no	—
237	C₈	—	4	2	no	—
238	C₈	—	4	2	no	—
239	C₈	—	4	8	no	—
240	C₈	#405	1	4	yes	—
241	C₈	#405	1	4	yes	—
242	C₂²	—	2	2	no	—
243	C₂²	—	2	2	no	—
244	C₂²	—	2	2	no	—
245	C₂²	—	4	2	no	—
246	C₂²	—	4	2	no	—
247	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²	#2931	1	2	yes	—
249	C₂²	#2948	1	1	yes	characteristic
250	C₂²	#2950	1	1	yes	characteristic
251	C₂²	#2957	1	2	yes	—
252	C₄	—	2	2	no	—
253	C₄	—	2	1	no	—
254	C₄	—	2	1	no	—
255	C₄	—	2	2	no	—
256	C₄	—	2	2	no	—
257	C₄	—	8	8	no	—
258	C₄	C₂×#405	1	1	yes	characteristic
259	C₄	C₂×#405	1	1	yes	characteristic
260	C₄	#2913	1	2	yes	—
261	C₄	#2951	1	2	yes	—
262	C₄	#2960	1	2	yes	—
263	C₂	—	4	2	no	—
264	C₂	#17970	1	2	yes	—
265	C₂	#17972	1	2	yes	—
266	C₂	#20437	1	1	yes	characteristic
267	C₂	#20446	1	1	yes	characteristic
268	C₂	#20455	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₄×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#431 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #8287	C₂	semidirect
6. #8284	C₂	semidirect
7. #8282	C₂	semidirect
8. C₈×#107	C₂	semidirect
25. #1568	C₄	semidirect
28. #1450	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20817	2
#20537	2
C₂×#1568	2
C₂×#1450	2
#8287	2
#8284	2
#8282	2
C₈×#107	2
#7900	2