Subgroups — #183828

Order 512.

776 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 400 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20777	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#432	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#8261	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#8261	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#8260	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₈×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#8149	C₂	1	2	yes	maximal
9	#8148	C₂	1	2	yes	maximal
10	#8134	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#7844	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×#432	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#1839	C₄	1	2	yes	—
17	#1831	C₄	1	2	yes	—
18	#1817	C₄	1	2	yes	—
19	#1797	C₄	1	2	yes	—
20	#1767	C₄	1	2	yes	—
21	C₄×C₄⋊C₈	C₄	1	2	yes	—
22	C₄×C₄⋊C₈	C₄	1	2	yes	—
23	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1749	C₄	1	2	yes	—
28	C₄×C₂²⋊C₈	C₄	1	2	yes	—
29	C₄×C₂²⋊C₈	C₄	1	2	yes	—
30	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
32	#1745	C₄	1	2	yes	—
33	#1744	C₂²	1	2	yes	—
34	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#97	C₂²	1	2	yes	—
37	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×C₈²	C₂²	1	2	yes	—
43	#1273	C₂²	1	2	yes	—
44	#1273	C₂²	1	2	yes	—
45	#1273	C₂²	1	2	yes	—
46	#1273	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#432	—	2	8	no	—
55	#431	—	2	2	no	—
56	#431	—	2	2	no	—
57	#431	—	2	2	no	—
58	#431	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
92	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
93	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
96	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
99	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
100	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
101	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
102	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
103	#322	—	2	4	no	—
104	#322	—	2	4	no	—
105	#322	—	2	4	no	—
106	C₈²	—	2	4	no	—
107	C₂³×C₄	C₄²	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	C₄²	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	C₄²	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₄²	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
122	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
127	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
130	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
131	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
132	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
161	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
164	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
165	C₄⋊C₈	M₁₆	1	8	yes	—
166	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
167	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
168	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
169	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
170	#97	—	2	8	no	—
171	#97	—	4	4	no	—
172	C₄×C₈	—	2	4	no	—
173	C₄×C₈	—	2	4	no	—
174	C₄×C₈	—	2	2	no	—
175	C₄×C₈	—	2	2	no	—
176	C₄×C₈	—	2	2	no	—
177	C₄×C₈	—	2	2	no	—
178	C₄×C₈	—	2	2	no	—
179	C₄×C₈	—	2	2	no	—
180	C₄×C₈	—	2	2	no	—
181	C₄×C₈	—	2	2	no	—
182	C₄×C₈	—	2	1	no	—
183	C₄×C₈	—	2	1	no	—
184	C₄×C₈	—	2	1	no	—
185	C₄×C₈	—	2	1	no	—
186	C₄×C₈	—	4	2	no	—
187	C₄×C₈	—	4	2	no	—
188	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
189	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
190	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
191	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
192	C₂⁴	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
216	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₈	—	2	4	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	2	no	—
234	C₂×C₈	—	2	2	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
253	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
254	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
255	C₄²	—	2	1	no	—
256	C₄²	—	2	1	no	—
257	C₄²	—	2	1	no	—
258	C₄²	—	2	1	no	—
259	C₄²	—	2	1	no	—
260	C₄²	—	2	1	no	—
261	C₄²	—	2	2	no	—
262	C₄²	—	2	2	no	—
263	C₄²	—	2	2	no	—
264	C₄²	—	2	2	no	—
265	C₄²	—	2	2	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	—	2	2	no	—
268	C₄²	—	2	2	no	—
269	C₄²	—	2	2	no	—
270	C₄²	—	2	2	no	—
271	C₄²	—	2	2	no	—
272	C₄²	—	2	2	no	—
273	C₄²	—	2	2	no	—
274	C₄²	—	2	2	no	—
275	C₄²	—	2	2	no	—
276	C₄²	—	2	2	no	—
277	C₄²	—	2	2	no	—
278	C₄²	—	4	1	no	—
279	C₄²	—	4	1	no	—
280	C₄²	—	4	1	no	—
281	C₄²	—	4	1	no	—
282	C₄²	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
283	C₄²	#131	1	4	yes	—
284	C₄²	#131	1	4	yes	—
285	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
286	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
287	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
288	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
289	C₂³	—	2	1	no	—
290	C₂³	—	2	1	no	—
291	C₂³	—	2	1	no	—
292	C₂³	—	2	1	no	—
293	C₂³	—	2	1	no	—
294	C₂³	—	2	1	no	—
295	C₂³	#405	1	2	yes	—
296	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	1	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	1	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	1	no	—
319	C₂×C₄	—	2	1	no	—
320	C₂×C₄	—	2	1	no	—
321	C₂×C₄	—	2	1	no	—
322	C₂×C₄	—	2	1	no	—
323	C₂×C₄	—	2	1	no	—
324	C₂×C₄	—	2	1	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#405	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#405	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#405	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#405	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#405	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
352	C₈	—	2	4	no	—
353	C₈	—	2	4	no	—
354	C₈	—	2	8	no	—
355	C₈	—	4	2	no	—
356	C₈	—	4	2	no	—
357	C₈	—	4	4	no	—
358	C₈	—	4	4	no	—
359	C₈	—	4	4	no	—
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	2	2	no	—
362	C₂²	—	2	2	no	—
363	C₂²	—	4	1	no	—
364	C₂²	—	4	1	no	—
365	C₂²	—	4	1	no	—
366	C₂²	—	4	1	no	—
367	C₂²	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	C₂×#405	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	C₂×#405	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	C₂×#405	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	#2873	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	#2873	1	1	yes	characteristic
374	C₄	—	2	2	no	—
375	C₄	—	2	2	no	—
376	C₄	—	2	2	no	—
377	C₄	—	2	2	no	—
378	C₄	—	4	1	no	—
379	C₄	—	4	1	no	—
380	C₄	—	4	1	no	—
381	C₄	—	4	1	no	—
382	C₄	—	4	1	no	—
383	C₄	—	4	1	no	—
384	C₄	#1453	1	4	yes	—
385	C₄	#2925	1	2	yes	—
386	C₄	#2925	1	2	yes	—
387	C₄	#2966	1	2	yes	—
388	C₄	#2966	1	2	yes	—
389	C₄	#2970	1	2	yes	—
390	C₄	#2971	1	2	yes	—
391	C₂	—	4	2	no	—
392	C₂	C₂×#1453	1	1	yes	characteristic
393	C₂	#17324	1	1	yes	characteristic
394	C₂	#17325	1	1	yes	characteristic
395	C₂	#17327	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#20470	1	1	yes	characteristic
397	C₂	#20476	1	1	yes	characteristic
398	C₂	#20480	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂²×C₄²
prime radical	C₂⁴	C₂×C₄²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #8261	C₂	semidirect
5. #8261	C₂	semidirect
6. #8260	C₂	semidirect
7. C₈×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
10. #8134	C₂	semidirect
11. #7844	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20777	2
C₄×#432	2
C₄×#431	2
#8261	2
#8260	2
C₈×C₄⋊C₈	2
#8149	2
#8148	2
#8134	2
#7844	2