Subgroups — #183994

Order 512.

936 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 305 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#442	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	D₄×#97	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1580	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×C₈×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#8286	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#8283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8276	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#8204	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8202	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#8172	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#7846	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#442	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#97	—	2	2	no	—
17	C₄²×D₄	C₂²	1	2	yes	—
18	#1776	C₄	1	2	yes	—
19	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1770	C₂²	1	2	yes	—
21	#1770	C₂²	1	2	yes	—
22	#1767	C₂²	1	2	yes	—
23	#1762	C₄	1	4	yes	—
24	C₄×#102	C₂²	1	2	yes	—
25	#1752	—	2	2	no	—
26	#1752	—	2	2	no	—
27	#1749	—	2	2	no	—
28	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1580	C₄	1	8	yes	complemented
32	C₈×D₈	C₄	1	8	yes	complemented
33	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1279	C₂²	1	2	yes	—
42	#1279	C₂²	1	2	yes	—
43	#1277	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
46	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
50	#442	—	2	8	no	—
51	C₄×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₄×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₈×D₄	—	2	4	no	—
54	C₈×D₄	—	2	4	no	—
55	C₈×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
56	C₈×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
57	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×#97	—	2	2	no	—
66	C₂×#97	—	2	2	no	—
67	C₂×#97	—	2	2	no	—
68	C₂×#97	—	2	2	no	—
69	C₂×#97	—	4	8	no	—
70	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
84	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
86	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#336	—	2	2	no	—
88	#336	—	2	2	no	—
89	#336	—	2	2	no	—
90	#335	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
91	#334	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
92	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
93	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
94	#322	—	2	2	no	—
95	#322	—	2	2	no	—
96	#322	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
97	C₈²	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
98	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
100	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
101	C₂×D₈	C₄²	1	4	yes	—
102	C₂×D₈	M₁₆	1	8	yes	—
103	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
109	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
110	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
111	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
112	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
113	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₄×D₄	—	2	8	no	—
120	C₄×D₄	—	2	2	no	—
121	C₄×D₄	—	2	2	no	—
122	C₄×D₄	—	4	4	no	—
123	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
124	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
132	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
133	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
137	#107	C₄²	1	4	yes	—
138	#106	—	2	4	no	—
139	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
140	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
141	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
143	#102	—	2	8	no	—
144	#102	C₄²	1	8	yes	—
145	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
146	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
147	#97	—	2	4	no	—
148	#97	—	2	4	no	—
149	#97	—	4	2	no	—
150	#97	—	4	2	no	—
151	#97	—	4	4	no	—
152	#97	—	4	4	no	—
153	#97	—	4	4	no	—
154	#97	—	4	4	no	—
155	C₄×C₈	—	2	1	no	—
156	C₄×C₈	—	2	1	no	—
157	C₄×C₈	—	2	1	no	—
158	C₄×C₈	—	2	1	no	—
159	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
161	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
165	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
166	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
167	#95	—	2	4	no	—
168	#95	—	2	2	no	—
169	C₂⁴	—	2	2	no	—
170	C₂×D₄	—	2	2	no	—
171	C₂×D₄	—	2	4	no	—
172	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
173	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
185	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
189	D₈	#97	1	16	yes	complemented
190	C₂×C₈	—	2	4	no	—
191	C₂×C₈	—	2	2	no	—
192	C₂×C₈	—	2	2	no	—
193	C₂×C₈	—	2	2	no	—
194	C₂×C₈	—	2	2	no	—
195	C₂×C₈	—	2	2	no	—
196	C₂×C₈	—	2	4	no	—
197	C₂×C₈	—	2	4	no	—
198	C₂×C₈	—	2	2	no	—
199	C₂×C₈	—	2	2	no	—
200	C₂×C₈	—	2	2	no	—
201	C₂×C₈	—	2	2	no	—
202	C₂×C₈	—	4	16	no	—
203	C₂×C₈	—	4	2	no	—
204	C₂×C₈	—	4	2	no	—
205	C₂×C₈	—	4	2	no	—
206	C₂×C₈	—	4	2	no	—
207	C₂×C₈	—	4	2	no	—
208	C₂×C₈	—	4	16	no	—
209	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
210	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
211	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
213	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
214	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
215	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
216	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
219	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
220	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
223	C₄²	—	2	2	no	—
224	C₄²	—	2	2	no	—
225	C₄²	—	2	2	no	—
226	C₄²	—	2	2	no	—
227	C₄²	—	4	2	no	—
228	C₄²	—	4	8	no	—
229	C₄²	—	4	2	no	—
230	C₄²	—	4	2	no	—
231	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
234	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
235	C₂³	—	2	8	no	—
236	C₂³	—	2	4	no	—
237	C₂³	—	4	2	no	—
238	C₂³	—	4	2	no	—
239	C₂³	—	4	4	no	—
240	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
241	D₄	—	2	4	no	—
242	D₄	—	2	8	no	—
243	D₄	C₂×#97	1	8	yes	complemented
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂×C₄	—	4	4	no	—
253	C₂×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂×C₄	—	4	4	no	—
255	C₂×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂×C₄	—	8	16	no	—
259	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
267	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
268	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
269	C₈	—	2	4	no	—
270	C₈	—	2	2	no	—
271	C₈	—	2	2	no	—
272	C₈	—	2	4	no	—
273	C₈	—	4	2	no	—
274	C₈	—	4	4	no	—
275	C₈	—	4	4	no	—
276	C₈	—	4	2	no	—
277	C₈	C₂×#97	1	4	yes	complemented
278	C₈	#442	1	4	yes	complemented
279	C₂²	—	2	8	no	—
280	C₂²	—	4	4	no	—
281	C₂²	—	4	4	no	—
282	C₂²	—	4	8	no	—
283	C₂²	—	4	8	no	—
284	C₂²	C₄²×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	D₄×M₁₆	1	2	yes	—
286	C₂²	C₄×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
287	C₂²	#2956	1	2	yes	—
288	C₄	—	2	1	no	—
289	C₄	—	2	1	no	—
290	C₄	—	4	4	no	—
291	C₄	—	4	4	no	—
292	C₄	—	8	4	no	—
293	C₄	C₂²×#97	1	1	yes	characteristic
294	C₄	#2875	1	1	yes	characteristic
295	C₄	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
296	C₄	#2943	1	1	yes	characteristic
297	C₄	C₄×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
298	C₄	#2970	1	2	yes	—
299	C₂	—	4	8	no	—
300	C₂	#18046	1	4	yes	—
301	C₂	D₄×#97	1	1	yes	characteristic
302	C₂	C₄×#442	1	1	yes	characteristic
303	C₂	#20512	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×D₈	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×#97 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. D₄×#97	C₂	semidirect
5. #8286	C₂	semidirect
6. #8283	C₂	semidirect
7. #8276	C₂	semidirect
8. #8204	C₂	semidirect
9. #8202	C₂	semidirect
10. #8172	C₂	semidirect
11. #7846	C₂	semidirect
31. #1580	C₄	semidirect
32. C₈×D₈	C₄	semidirect
55. C₈×D₄	C₂×C₄	semidirect
56. C₈×D₄	C₂×C₄	semidirect
90. #335	C₂×C₄	semidirect
91. #334	C₂×C₄	semidirect
92. D₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
93. D₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
96. #322	C₂×C₄	semidirect
97. C₈²	C₂×C₄	semidirect
189. D₈	#97	semidirect
243. D₄	C₂×#97	semidirect
277. C₈	C₂×#97	semidirect
278. C₈	#442	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#442	2
D₄×#97	2
C₂×#1580	2
C₂×C₈×D₈	2
#8286	2
#8283	2
#8276	2
#8204	2
#8202	2
#8172	2
#7846	2