Subgroups — #184000

Order 512.

872 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 301 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20558	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₄×#442	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1580	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×C₈×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#8286	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#8283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8276	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#8204	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8202	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#8174	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#7844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#442	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₄²×D₄	C₂²	1	2	yes	—
17	#1776	C₄	1	2	yes	—
18	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#1770	C₂²	1	2	yes	—
20	#1770	C₂²	1	2	yes	—
21	#1767	C₂²	1	2	yes	—
22	#1762	C₄	1	4	yes	—
23	C₄×#102	C₂²	1	2	yes	—
24	#1752	—	2	2	no	—
25	#1752	—	2	2	no	—
26	#1749	—	2	2	no	—
27	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#336	—	2	2	no	—
30	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1580	C₄	1	8	yes	complemented
32	C₈×D₈	C₄	1	8	yes	complemented
33	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1279	C₂²	1	2	yes	—
42	#1279	C₂²	1	2	yes	—
43	#1277	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
46	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
50	#442	—	2	8	no	—
51	C₄×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₄×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₈×D₄	—	2	4	no	—
54	C₈×D₄	—	2	4	no	—
55	C₈×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
56	C₈×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
57	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×#97	—	2	2	no	—
66	C₂×#97	—	2	2	no	—
67	C₂×#97	—	2	2	no	—
68	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
79	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#336	—	2	2	no	—
84	#336	—	2	2	no	—
85	#336	—	2	2	no	—
86	#336	—	2	2	no	—
87	#336	D₄	1	2	yes	—
88	#336	D₄	1	2	yes	—
89	#335	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
90	#334	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
91	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
92	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
93	#322	—	2	2	no	—
94	#322	—	2	2	no	—
95	#322	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
96	C₈²	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
97	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
100	C₂×D₈	C₄²	1	4	yes	—
101	C₂×D₈	M₁₆	1	8	yes	—
102	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
108	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
112	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₄×D₄	—	2	8	no	—
119	C₄×D₄	—	2	2	no	—
120	C₄×D₄	—	2	2	no	—
121	C₄×D₄	—	4	4	no	—
122	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
123	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄²	—	8	2	no	—
131	C₂×C₄²	—	8	2	no	—
132	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	#107	C₄²	1	4	yes	—
137	#106	—	2	4	no	—
138	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
139	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
140	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
141	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	#102	—	2	8	no	—
143	#102	C₄²	1	8	yes	—
144	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
145	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
146	#97	—	2	4	no	—
147	#97	—	4	2	no	—
148	#97	—	8	2	no	—
149	#97	—	8	2	no	—
150	#97	—	8	2	no	—
151	C₄×C₈	—	2	1	no	—
152	C₄×C₈	—	2	1	no	—
153	C₄×C₈	—	2	1	no	—
154	C₄×C₈	—	2	1	no	—
155	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
161	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
162	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
163	#95	—	2	4	no	—
164	#95	—	2	2	no	—
165	C₂⁴	—	2	2	no	—
166	C₂×D₄	—	2	2	no	—
167	C₂×D₄	—	2	4	no	—
168	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
169	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
181	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
185	D₈	#97	1	16	yes	complemented
186	C₂×C₈	—	2	2	no	—
187	C₂×C₈	—	2	2	no	—
188	C₂×C₈	—	2	2	no	—
189	C₂×C₈	—	2	2	no	—
190	C₂×C₈	—	2	2	no	—
191	C₂×C₈	—	2	4	no	—
192	C₂×C₈	—	2	4	no	—
193	C₂×C₈	—	2	2	no	—
194	C₂×C₈	—	2	2	no	—
195	C₂×C₈	—	2	2	no	—
196	C₂×C₈	—	2	2	no	—
197	C₂×C₈	—	2	2	no	—
198	C₂×C₈	—	4	2	no	—
199	C₂×C₈	—	4	2	no	—
200	C₂×C₈	—	4	2	no	—
201	C₂×C₈	—	4	2	no	—
202	C₂×C₈	—	4	2	no	—
203	C₂×C₈	—	4	2	no	—
204	C₂×C₈	—	8	8	no	—
205	C₂×C₈	—	8	8	no	—
206	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
207	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
208	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
209	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
210	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
212	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
213	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
215	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
216	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
219	C₄²	—	2	2	no	—
220	C₄²	—	2	2	no	—
221	C₄²	—	2	2	no	—
222	C₄²	—	2	2	no	—
223	C₄²	—	4	2	no	—
224	C₄²	—	4	2	no	—
225	C₄²	—	4	2	no	—
226	C₄²	—	8	4	no	—
227	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
230	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
231	C₂³	—	2	8	no	—
232	C₂³	—	2	4	no	—
233	C₂³	—	4	2	no	—
234	C₂³	—	4	2	no	—
235	C₂³	—	4	4	no	—
236	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
237	D₄	—	2	4	no	—
238	D₄	—	2	8	no	—
239	D₄	C₂×#97	1	8	yes	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂×C₄	—	4	4	no	—
253	C₂×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂×C₄	—	8	16	no	—
255	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
263	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
264	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
265	C₈	—	2	2	no	—
266	C₈	—	2	4	no	—
267	C₈	—	2	2	no	—
268	C₈	—	2	2	no	—
269	C₈	—	4	2	no	—
270	C₈	—	4	2	no	—
271	C₈	—	4	4	no	—
272	C₈	—	4	4	no	—
273	C₈	—	4	2	no	—
274	C₈	C₂×#97	1	4	yes	—
275	C₂²	—	2	8	no	—
276	C₂²	—	4	4	no	—
277	C₂²	—	4	4	no	—
278	C₂²	—	4	8	no	—
279	C₂²	—	4	8	no	—
280	C₂²	C₄²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	D₄×M₁₆	1	2	yes	—
282	C₂²	#2946	1	2	yes	—
283	C₂²	#2955	1	2	yes	—
284	C₄	—	2	1	no	—
285	C₄	—	2	1	no	—
286	C₄	—	4	4	no	—
287	C₄	—	4	4	no	—
288	C₄	—	8	4	no	—
289	C₄	C₂²×#97	1	1	yes	characteristic
290	C₄	#2875	1	1	yes	characteristic
291	C₄	#2946	1	2	yes	—
292	C₄	#2948	1	1	yes	characteristic
293	C₄	#2952	1	1	yes	characteristic
294	C₄	#2970	1	2	yes	—
295	C₂	—	4	8	no	—
296	C₂	#18050	1	4	yes	—
297	C₂	D₄×#97	1	1	yes	characteristic
298	C₂	#20503	1	1	yes	characteristic
299	C₂	#20510	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×D₈	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1744 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20558	C₂	semidirect
5. #8286	C₂	semidirect
6. #8283	C₂	semidirect
7. #8276	C₂	semidirect
8. #8204	C₂	semidirect
9. #8202	C₂	semidirect
10. #8174	C₂	semidirect
11. #7844	C₂	semidirect
31. #1580	C₄	semidirect
32. C₈×D₈	C₄	semidirect
55. C₈×D₄	C₂×C₄	semidirect
56. C₈×D₄	C₂×C₄	semidirect
89. #335	C₂×C₄	semidirect
90. #334	C₂×C₄	semidirect
91. D₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
92. D₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
95. #322	C₂×C₄	semidirect
96. C₈²	C₂×C₄	semidirect
185. D₈	#97	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20558	2
C₄×#442	2
C₂×#1580	2
C₂×C₈×D₈	2
#8286	2
#8283	2
#8276	2
#8204	2
#8202	2
#8174	2
#7844	2