Subgroups — #184012

Order 512.

804 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 311 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#444	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#17849	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₈×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#17316	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8294	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₈×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8268	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#8191	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₈×#104	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#8184	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₈×#97	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₈×#41	C₂²	1	2	yes	—
13	C₈×#41	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#444	C₄	1	2	yes	—
15	C₄×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₄×#131	C₂²	1	2	yes	—
17	C₄×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#1773	C₄	1	2	yes	—
19	#1765	C₄	1	4	yes	—
20	C₄×#104	C₂²	1	2	yes	—
21	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1580	C₄	1	2	yes	complemented
25	#1579	C₄	1	2	yes	complemented
26	SD₁₆⋊C₈	C₄	1	4	yes	complemented
27	C₈×Q₁₆	C₄	1	2	yes	complemented
28	C₈×SD₁₆	C₄	1	4	yes	complemented
29	C₈×D₈	C₄	1	2	yes	complemented
30	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1476	C₂²	1	2	yes	—
33	#1476	C₂²	1	2	yes	—
34	#1450	—	2	2	no	—
35	#1450	C₂²	1	2	yes	—
36	C₈×M₁₆	—	2	2	no	—
37	C₈×M₁₆	—	2	2	no	—
38	C₈×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
39	C₈×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#322	—	2	2	no	—
41	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1278	C₂²	1	2	yes	—
46	#1278	C₂²	1	2	yes	—
47	#1276	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂×#135	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₄×#41	C₂³	1	2	yes	—
51	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	#444	C₈	1	16	yes	complemented
54	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₄×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₄×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₄×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₄×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₈×D₄	—	2	4	no	—
61	C₈×D₄	—	2	4	no	—
62	C₈×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₈×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	#431	—	2	2	no	—
65	#431	—	2	2	no	—
66	#431	C₂³	1	2	yes	—
67	#431	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#108	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	#427	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#104	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	#416	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#405	—	2	4	no	—
73	#405	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
75	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#341	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#339	C₂×C₄	1	4	yes	—
91	#336	—	2	2	no	—
92	#335	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#335	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	#334	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	#334	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
97	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
98	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
99	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
100	#322	—	2	2	no	—
101	#322	—	2	2	no	—
102	#322	—	2	2	no	—
103	#322	C₂×C₄	1	2	yes	—
104	#322	C₂×C₄	1	2	yes	—
105	#322	D₄	1	2	yes	—
106	#322	D₄	1	2	yes	—
107	C₈²	—	2	2	no	—
108	C₈²	—	2	2	no	—
109	C₈²	—	2	2	no	—
110	C₈²	—	2	2	no	—
111	C₈²	C₂×C₄	1	2	yes	—
112	C₈²	C₂×C₄	1	2	yes	—
113	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	#135	C₂×C₈	1	8	yes	—
115	C₂×Q₁₆	C₄²	1	1	yes	characteristic
116	C₂×SD₁₆	C₄²	1	2	yes	—
117	C₂×D₈	C₄²	1	1	yes	characteristic
118	#131	—	2	8	no	—
119	#131	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
122	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
132	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₄×D₄	—	2	2	no	—
135	C₄×D₄	—	2	2	no	—
136	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	#117	—	2	2	no	—
139	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
145	#108	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
146	#107	C₄²	1	1	yes	characteristic
147	#107	C₄²	1	1	yes	characteristic
148	#106	C₄²	1	2	yes	—
149	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
150	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
151	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	#104	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
154	#103	C₄²	1	2	yes	—
155	#103	C₄²	1	2	yes	—
156	#102	C₄²	1	2	yes	—
157	#102	C₄²	1	2	yes	—
158	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
159	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
160	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
161	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
162	#97	—	2	4	no	—
163	#97	—	2	4	no	—
164	#97	—	2	2	no	—
165	#97	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
166	C₄×C₈	—	2	4	no	—
167	C₄×C₈	—	2	4	no	—
168	C₄×C₈	—	2	4	no	—
169	C₄×C₈	—	2	2	no	—
170	C₄×C₈	—	2	2	no	—
171	C₄×C₈	—	2	2	no	—
172	C₄×C₈	—	2	1	no	—
173	C₄×C₈	—	2	1	no	—
174	C₄×C₈	—	4	4	no	—
175	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
176	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
177	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
180	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
182	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
183	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
188	#41	—	2	4	no	—
189	#41	C₂²×C₈	1	8	yes	—
190	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
191	C₂×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
200	Q₁₆	C₄×C₈	1	4	yes	complemented
201	SD₁₆	C₄×C₈	1	8	yes	complemented
202	D₈	C₄×C₈	1	4	yes	complemented
203	M₁₆	—	2	4	no	—
204	M₁₆	—	2	16	no	—
205	M₁₆	C₂²×C₈	1	8	yes	—
206	C₂×C₈	—	2	4	no	—
207	C₂×C₈	—	2	4	no	—
208	C₂×C₈	—	2	2	no	—
209	C₂×C₈	—	2	2	no	—
210	C₂×C₈	—	2	16	no	—
211	C₂×C₈	—	2	4	no	—
212	C₂×C₈	—	2	4	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	4	2	no	—
215	C₂×C₈	—	4	2	no	—
216	C₂×C₈	—	4	2	no	—
217	C₂×C₈	—	8	4	no	—
218	C₂×C₈	—	8	4	no	—
219	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
224	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
225	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
226	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
227	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
228	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
229	C₂×C₈	#131	1	4	yes	—
230	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
232	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
233	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
234	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
237	C₄²	—	2	2	no	—
238	C₄²	—	2	2	no	—
239	C₄²	—	2	2	no	—
240	C₄²	—	2	2	no	—
241	C₄²	—	4	2	no	—
242	C₄²	—	4	2	no	—
243	C₄²	C₂²×C₈	1	4	yes	—
244	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
246	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
248	C₂³	—	2	2	no	—
249	C₂³	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
250	Q₈	—	2	2	no	—
251	Q₈	C₂×C₄×C₈	1	4	yes	—
252	D₄	—	2	8	no	—
253	D₄	—	2	2	no	—
254	D₄	C₂×C₄×C₈	1	4	yes	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	8	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
274	C₈	—	2	4	no	—
275	C₈	—	2	1	no	—
276	C₈	—	2	1	no	—
277	C₈	—	2	8	no	—
278	C₈	—	2	4	no	—
279	C₈	—	2	2	no	—
280	C₈	—	2	2	no	—
281	C₈	—	4	2	no	—
282	C₈	—	4	4	no	—
283	C₈	—	4	4	no	—
284	C₈	C₂×C₄×C₈	1	2	yes	—
285	C₈	C₂×C₄×C₈	1	2	yes	—
286	C₈	C₈×D₄	1	8	yes	—
287	C₂²	—	2	1	no	—
288	C₂²	—	2	1	no	—
289	C₂²	—	2	4	no	—
290	C₂²	—	4	2	no	—
291	C₂²	—	4	2	no	—
292	C₂²	C₄²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	C₈×#41	1	2	yes	—
294	C₄	—	2	4	no	—
295	C₄	—	2	1	no	—
296	C₄	—	2	1	no	—
297	C₄	—	4	4	no	—
298	C₄	—	4	2	no	—
299	C₄	—	4	2	no	—
300	C₄	C₂²×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
301	C₄	C₄×#131	1	1	yes	characteristic
302	C₄	C₂×C₈×D₄	1	2	yes	—
303	C₄	#2956	1	2	yes	—
304	C₄	#2957	1	2	yes	—
305	C₂	—	2	2	no	—
306	C₂	—	4	4	no	—
307	C₂	C₄×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂	#20512	1	1	yes	characteristic
309	C₂	#20513	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄²	C₂²×D₄
commutator	C₄	C₂²×C₄×C₈
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₄²×D₄
prime radical	C₂×#135	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄² ◁ C₂×#322 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #17316	C₂	semidirect
5. #8294	C₂	semidirect
6. C₈×#108	C₂	semidirect
7. #8268	C₂	semidirect
8. #8191	C₂	semidirect
9. C₈×#104	C₂	semidirect
10. #8184	C₂	semidirect
11. C₈×#97	C₂	semidirect
24. #1580	C₄	semidirect
25. #1579	C₄	semidirect
26. SD₁₆⋊C₈	C₄	semidirect
27. C₈×Q₁₆	C₄	semidirect
28. C₈×SD₁₆	C₄	semidirect
29. C₈×D₈	C₄	semidirect
53. #444	C₈	semidirect
119. #131	C₂×C₈	semidirect
145. #108	C₂×C₈	semidirect
153. #104	C₂×C₈	semidirect
165. #97	C₂×C₈	semidirect
200. Q₁₆	C₄×C₈	semidirect
201. SD₁₆	C₄×C₈	semidirect
202. D₈	C₄×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#444	2
#17849	2
C₈×#135	2
#17316	2
#8294	2
C₈×#108	2
#8268	2
#8191	2
C₈×#104	2
#8184	2
C₈×#97	2