Subgroups — #184184

Order 512.

872 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 358 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20555	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₄²×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1581	C₂	1	2	yes	maximal
5	#8291	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₄×#335	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8212	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8204	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#7843	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×C₄×D₈	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₄×#107	C₄	1	2	yes	—
19	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1770	C₂²	1	2	yes	—
21	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄×#102	C₄	1	2	yes	—
25	C₄×#102	C₄	1	2	yes	—
26	C₄×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₄×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1753	—	2	2	no	—
29	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
30	#1749	—	2	1	no	—
31	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
32	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1728	—	2	1	no	—
35	C₂×#336	—	2	1	no	—
36	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1581	C₄	1	16	yes	complemented
38	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
43	#1279	C₂²	1	2	yes	—
44	#1279	C₂²	1	2	yes	—
45	#1277	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
54	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
55	C₄×D₈	—	2	8	no	—
56	C₄×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	#436	—	2	4	no	—
58	#436	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
59	C₈×D₄	—	2	4	no	—
60	C₈×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
61	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×#102	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×#102	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×#97	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
86	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
87	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#336	—	2	2	no	—
94	#336	—	2	2	no	—
95	#336	—	2	1	no	—
96	#336	—	2	1	no	—
97	#336	—	2	2	no	—
98	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
99	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
100	#336	D₄	1	2	yes	—
101	#335	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
102	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
103	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
104	#322	—	2	4	no	—
105	#322	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
106	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂×D₈	—	2	4	no	—
113	C₂×D₈	C₄²	1	4	yes	—
114	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
115	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
116	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
121	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
123	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₄×D₄	—	2	4	no	—
129	C₄×D₄	—	2	4	no	—
130	C₄×D₄	—	2	4	no	—
131	C₄×D₄	—	2	2	no	—
132	C₄×D₄	—	2	2	no	—
133	C₄×D₄	M₁₆	1	8	yes	complemented
134	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄²	—	8	2	no	—
149	C₂×C₄²	—	8	2	no	—
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
155	#107	—	2	4	no	—
156	#107	C₄²	1	4	yes	—
157	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
158	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
159	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
160	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
161	#102	—	2	4	no	—
162	#102	—	2	4	no	—
163	#102	C₄²	1	4	yes	—
164	#102	C₄²	1	4	yes	—
165	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
166	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
167	#97	—	8	2	no	—
168	C₄×C₈	—	2	4	no	—
169	C₄×C₈	—	2	4	no	—
170	C₄×C₈	—	2	2	no	—
171	C₄×C₈	—	2	2	no	—
172	C₄×C₈	—	8	1	no	—
173	C₄×C₈	—	8	1	no	—
174	C₄×C₈	—	8	2	no	—
175	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
176	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
177	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
178	C₄×C₈	#41	1	4	yes	—
179	#95	—	2	2	no	—
180	#95	—	2	2	no	—
181	#95	—	2	1	no	—
182	#95	—	2	1	no	—
183	C₂⁴	—	2	1	no	—
184	C₂⁴	—	2	1	no	—
185	C₂×D₄	—	2	1	no	—
186	C₂×D₄	—	2	1	no	—
187	C₂×D₄	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	2	no	—
190	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
191	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
192	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
211	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
216	D₈	—	2	8	no	—
217	M₁₆	—	8	8	no	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	2	2	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	2	2	no	—
224	C₂×C₈	—	2	4	no	—
225	C₂×C₈	—	2	4	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	4	no	—
228	C₂×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	4	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	—	4	2	no	—
235	C₂×C₈	—	8	8	no	—
236	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
239	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
240	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
246	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
247	C₄⋊C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
252	C₄²	—	2	1	no	—
253	C₄²	—	2	2	no	—
254	C₄²	—	2	1	no	—
255	C₄²	—	4	2	no	—
256	C₄²	—	4	2	no	—
257	C₄²	—	4	2	no	—
258	C₄²	—	8	2	no	—
259	C₄²	—	8	2	no	—
260	C₄²	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
261	C₄²	#131	1	4	yes	—
262	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
263	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
264	C₂³	—	2	4	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	4	1	no	—
268	C₂³	—	4	1	no	—
269	C₂³	—	4	2	no	—
270	C₂³	—	4	2	no	—
271	C₂³	—	4	1	no	—
272	C₂³	—	4	1	no	—
273	C₂³	—	4	2	no	—
274	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
275	D₄	—	2	2	no	—
276	D₄	—	2	2	no	—
277	D₄	—	2	2	no	—
278	D₄	—	2	4	no	—
279	D₄	—	4	2	no	—
280	D₄	C₄×M₁₆	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	1	no	—
291	C₂×C₄	—	4	1	no	—
292	C₂×C₄	—	4	1	no	—
293	C₂×C₄	—	4	1	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	8	8	no	—
303	C₂×C₄	—	8	8	no	—
304	C₂×C₄	#435	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	#435	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
315	C₈	—	2	2	no	—
316	C₈	—	2	2	no	—
317	C₈	—	2	4	no	—
318	C₈	—	2	4	no	—
319	C₈	—	4	4	no	—
320	C₈	—	4	4	no	—
321	C₈	—	4	4	no	—
322	C₈	—	4	2	no	—
323	C₂²	—	2	4	no	—
324	C₂²	—	4	2	no	—
325	C₂²	—	4	2	no	—
326	C₂²	—	4	4	no	—
327	C₂²	—	4	4	no	—
328	C₂²	—	4	2	no	—
329	C₂²	—	4	2	no	—
330	C₂²	—	4	2	no	—
331	C₂²	—	8	2	no	—
332	C₂²	—	8	2	no	—
333	C₂²	C₄²×D₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂×#435	1	2	yes	—
335	C₂²	#2948	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#2951	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#2957	1	2	yes	—
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	2	4	no	—
340	C₄	—	2	4	no	—
341	C₄	—	4	2	no	—
342	C₄	—	4	2	no	—
343	C₄	—	4	4	no	—
344	C₄	—	8	2	no	—
345	C₄	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
346	C₄	C₄×#131	1	1	yes	characteristic
347	C₄	#2948	1	2	yes	—
348	C₄	#2951	1	2	yes	—
349	C₄	#2965	1	2	yes	—
350	C₂	—	4	4	no	—
351	C₂	—	8	2	no	—
352	C₂	#17877	1	2	yes	—
353	C₂	#17881	1	2	yes	—
354	C₂	C₄×#435	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#20508	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#20513	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×D₈	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1744 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20568	C₂	semidirect
2. #20555	C₂	semidirect
5. #8291	C₂	semidirect
6. C₄×#335	C₂	semidirect
7. #8212	C₂	semidirect
8. #8204	C₂	semidirect
9. #8170	C₂	semidirect
10. #8170	C₂	semidirect
11. #7843	C₂	semidirect
37. #1581	C₄	semidirect
58. #436	C₂×C₄	semidirect
60. C₈×D₄	C₂×C₄	semidirect
101. #335	C₂×C₄	semidirect
102. D₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
103. D₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
105. #322	C₂×C₄	semidirect
133. C₄×D₄	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20568	2
#20555	2
C₄²×D₈	2
C₂×#1581	2
#8291	2
C₄×#335	2
#8212	2
#8204	2
#8170	2
#7843	2