Subgroups — #184259

Order 512.

924 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 367 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄²×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	D₄×#97	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20494	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1581	C₂	1	2	yes	maximal
5	#8291	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8206	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×#102	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8174	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8174	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#97	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×C₄×D₈	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
17	C₂²×#97	—	2	1	no	—
18	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₄×#107	C₄	1	2	yes	—
21	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1770	C₂²	1	2	yes	—
23	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	#1767	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1767	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×#102	C₄	1	2	yes	—
27	C₄×#102	C₄	1	2	yes	—
28	C₄×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₄×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1753	—	2	2	no	—
31	#1752	—	2	2	no	—
32	#1749	—	2	1	no	—
33	#1749	—	2	1	no	—
34	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1581	C₄	1	16	yes	complemented
38	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×C₈²	C₂²	1	2	yes	—
43	#1279	C₂²	1	2	yes	—
44	#1279	C₂²	1	2	yes	—
45	#1277	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
54	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
55	C₄×D₈	—	2	8	no	—
56	C₄×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	#436	—	2	4	no	—
58	#436	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
59	C₈×D₄	—	2	4	no	—
60	C₈×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
61	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×#102	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#102	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₄×M₁₆	—	4	4	no	—
72	C₂×#97	—	2	2	no	—
73	C₂×#97	—	2	1	no	—
74	C₂×#97	—	2	1	no	—
75	C₂×#97	—	4	4	no	—
76	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
86	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
91	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
92	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
93	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
94	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	#336	—	2	2	no	—
99	#336	—	2	2	no	—
100	#336	—	2	1	no	—
101	#336	—	2	1	no	—
102	#336	—	2	2	no	—
103	#335	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
104	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
105	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
106	#322	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
107	C₈²	—	2	4	no	—
108	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂×D₈	—	2	4	no	—
115	C₂×D₈	C₄²	1	4	yes	—
116	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
117	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
123	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₄×D₄	—	2	4	no	—
131	C₄×D₄	—	2	4	no	—
132	C₄×D₄	—	2	2	no	—
133	C₄×D₄	—	2	2	no	—
134	C₄×D₄	—	4	2	no	—
135	C₄×D₄	—	4	2	no	—
136	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
137	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
150	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
151	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
152	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	#107	—	2	4	no	—
160	#107	C₄²	1	4	yes	—
161	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
163	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
164	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
165	#102	—	2	4	no	—
166	#102	C₄²	1	4	yes	—
167	#102	C₄²	1	4	yes	—
168	#102	M₁₆	1	8	yes	complemented
169	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
170	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
171	#97	—	2	4	no	—
172	#97	—	2	2	no	—
173	#97	—	4	4	no	—
174	#97	—	4	2	no	—
175	#97	—	4	2	no	—
176	#97	D₈	1	4	yes	complemented
177	C₄×C₈	—	2	4	no	—
178	C₄×C₈	—	2	2	no	—
179	C₄×C₈	—	2	2	no	—
180	C₄×C₈	—	4	2	no	—
181	C₄×C₈	—	4	4	no	—
182	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
183	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
184	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
185	C₄×C₈	#41	1	4	yes	—
186	#95	—	2	2	no	—
187	#95	—	2	2	no	—
188	#95	—	2	1	no	—
189	#95	—	2	1	no	—
190	C₂⁴	—	2	1	no	—
191	C₂⁴	—	2	1	no	—
192	C₂×D₄	—	2	1	no	—
193	C₂×D₄	—	2	1	no	—
194	C₂×D₄	—	2	2	no	—
195	C₂×D₄	—	2	2	no	—
196	C₂×D₄	—	2	2	no	—
197	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
198	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
199	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
218	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
223	D₈	—	2	8	no	—
224	M₁₆	—	4	16	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	4	no	—
232	C₂×C₈	—	2	4	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	4	4	no	—
235	C₂×C₈	—	4	2	no	—
236	C₂×C₈	—	4	2	no	—
237	C₂×C₈	—	4	2	no	—
238	C₂×C₈	—	4	2	no	—
239	C₂×C₈	—	4	16	no	—
240	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
241	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
242	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
243	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
244	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
245	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
246	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
247	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
252	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
253	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
254	C₄⋊C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₄²	—	2	2	no	—
260	C₄²	—	2	2	no	—
261	C₄²	—	2	2	no	—
262	C₄²	—	4	2	no	—
263	C₄²	—	4	1	no	—
264	C₄²	—	4	1	no	—
265	C₄²	—	4	1	no	—
266	C₄²	—	4	1	no	—
267	C₄²	—	4	4	no	—
268	C₄²	—	4	4	no	—
269	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
270	C₄²	#135	1	2	yes	—
271	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
272	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	4	1	no	—
277	C₂³	—	4	1	no	—
278	C₂³	—	4	2	no	—
279	C₂³	—	4	2	no	—
280	C₂³	—	4	1	no	—
281	C₂³	—	4	1	no	—
282	C₂³	—	4	2	no	—
283	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
284	D₄	—	2	2	no	—
285	D₄	—	2	2	no	—
286	D₄	—	2	2	no	—
287	D₄	—	2	4	no	—
288	D₄	—	4	2	no	—
289	D₄	C₄×M₁₆	1	4	yes	complemented
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	4	1	no	—
300	C₂×C₄	—	4	1	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	1	no	—
303	C₂×C₄	—	4	1	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	8	8	no	—
313	C₂×C₄	—	8	8	no	—
314	C₂×C₄	C₄×D₈	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
324	C₈	—	2	2	no	—
325	C₈	—	2	2	no	—
326	C₈	—	2	4	no	—
327	C₈	—	2	4	no	—
328	C₈	—	4	4	no	—
329	C₈	—	4	4	no	—
330	C₈	—	4	4	no	—
331	C₈	C₄×D₈	1	8	yes	complemented
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	4	2	no	—
334	C₂²	—	4	2	no	—
335	C₂²	—	4	4	no	—
336	C₂²	—	4	4	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	—	4	2	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	8	2	no	—
341	C₂²	—	8	2	no	—
342	C₂²	C₄²×D₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	D₄×M₁₆	1	2	yes	—
344	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#2957	1	2	yes	—
347	C₄	—	2	2	no	—
348	C₄	—	2	4	no	—
349	C₄	—	4	2	no	—
350	C₄	—	4	2	no	—
351	C₄	—	4	4	no	—
352	C₄	—	4	2	no	—
353	C₄	—	8	2	no	—
354	C₄	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#2875	1	1	yes	characteristic
356	C₄	C₂×C₄×D₈	1	2	yes	—
357	C₄	C₄×#135	1	2	yes	—
358	C₄	#2970	1	2	yes	—
359	C₂	—	4	4	no	—
360	C₂	—	8	2	no	—
361	C₂	M₁₆×D₈	1	2	yes	—
362	C₂	#18037	1	2	yes	—
363	C₂	#20491	1	1	yes	characteristic
364	C₂	C₄²×D₈	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#20513	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×D₈	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×#97 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. D₄×#97	C₂	semidirect
3. #20494	C₂	semidirect
5. #8291	C₂	semidirect
6. #8274	C₂	semidirect
7. #8206	C₂	semidirect
8. C₈×#102	C₂	semidirect
9. #8174	C₂	semidirect
10. #8174	C₂	semidirect
11. C₈×#97	C₂	semidirect
37. #1581	C₄	semidirect
58. #436	C₂×C₄	semidirect
60. C₈×D₄	C₂×C₄	semidirect
103. #335	C₂×C₄	semidirect
104. D₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
105. D₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
106. #322	C₂×C₄	semidirect
168. #102	M₁₆	semidirect
176. #97	D₈	semidirect
289. D₄	C₄×M₁₆	semidirect
331. C₈	C₄×D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄²×D₈	2
D₄×#97	2
#20494	2
C₂×#1581	2
#8291	2
#8274	2
#8206	2
C₈×#102	2
#8174	2
C₈×#97	2