Subgroups — #184279

Order 512.

806 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 339 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20572	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20567	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄²×SD₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1583	C₂	1	2	yes	maximal
5	#8290	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8273	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8208	C₂	1	2	yes	maximal
8	#8201	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8173	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8172	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#7842	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×SD₁₆	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
16	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₄×#106	C₄	1	2	yes	—
19	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1770	—	2	2	no	—
21	#1770	C₂²	1	2	yes	—
22	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	#1767	—	2	1	no	—
24	#1767	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1767	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×#103	C₄	1	2	yes	—
27	C₄×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×#102	C₄	1	2	yes	—
29	C₄×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1753	—	2	2	no	—
31	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
32	#1744	—	2	1	no	—
33	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1728	—	2	1	no	—
35	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1583	C₄	1	16	yes	complemented
38	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
43	#1279	C₂²	1	2	yes	—
44	#1279	C₂²	1	2	yes	—
45	#1277	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
53	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
54	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
55	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
56	C₄×SD₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	#436	—	2	4	no	—
58	#436	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×#106	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#103	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×#102	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×#97	—	2	2	no	—
70	C₂×#97	—	2	2	no	—
71	C₂×#97	—	2	1	no	—
72	C₂×#97	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
81	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
82	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
83	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
88	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₄³	—	2	1	no	—
90	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	#336	—	2	2	no	—
95	#336	—	2	2	no	—
96	#336	—	2	1	no	—
97	#336	—	2	1	no	—
98	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
99	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
100	#336	D₄	1	2	yes	—
101	#334	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
102	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
103	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
104	#322	—	2	4	no	—
105	#322	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
106	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
111	C₂×SD₁₆	C₄²	1	4	yes	—
112	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
113	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
124	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
125	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
126	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₄×D₄	—	2	4	no	—
128	C₄×D₄	—	2	2	no	—
129	C₄×D₄	—	4	2	no	—
130	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	8	2	no	—
146	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
151	#106	—	2	4	no	—
152	#106	C₄²	1	4	yes	—
153	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
154	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
156	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
157	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
158	#103	C₄²	1	4	yes	—
159	#103	M₁₆	1	8	yes	complemented
160	#102	—	2	4	no	—
161	#102	C₄²	1	4	yes	—
162	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
163	#97	—	4	4	no	—
164	#97	—	8	1	no	—
165	#97	—	8	1	no	—
166	#97	—	8	2	no	—
167	C₄×C₈	—	2	8	no	—
168	C₄×C₈	—	2	4	no	—
169	C₄×C₈	—	2	2	no	—
170	C₄×C₈	—	2	2	no	—
171	C₄×C₈	—	4	2	no	—
172	C₄×C₈	—	8	2	no	—
173	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
174	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
175	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
176	C₄×C₈	#41	1	4	yes	—
177	#95	—	2	2	no	—
178	#95	—	2	2	no	—
179	#95	—	2	1	no	—
180	#95	—	2	1	no	—
181	C₂⁴	—	2	1	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
184	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
185	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
186	C₂×D₄	—	2	1	no	—
187	C₂×D₄	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
202	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
207	SD₁₆	—	2	8	no	—
208	M₁₆	—	8	8	no	—
209	C₂×C₈	—	2	2	no	—
210	C₂×C₈	—	2	2	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	2	no	—
217	C₂×C₈	—	2	4	no	—
218	C₂×C₈	—	2	4	no	—
219	C₂×C₈	—	2	4	no	—
220	C₂×C₈	—	4	4	no	—
221	C₂×C₈	—	4	2	no	—
222	C₂×C₈	—	4	2	no	—
223	C₂×C₈	—	4	2	no	—
224	C₂×C₈	—	4	2	no	—
225	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
226	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
227	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
228	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
229	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
238	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
239	C₄⋊C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₄²	—	2	4	no	—
243	C₄²	—	2	2	no	—
244	C₄²	—	2	2	no	—
245	C₄²	—	2	1	no	—
246	C₄²	—	2	1	no	—
247	C₄²	—	2	2	no	—
248	C₄²	—	2	4	no	—
249	C₄²	—	4	4	no	—
250	C₄²	—	4	2	no	—
251	C₄²	—	4	1	no	—
252	C₄²	—	4	1	no	—
253	C₄²	—	4	4	no	—
254	C₄²	—	8	2	no	—
255	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
256	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	4	2	no	—
259	C₂³	—	4	1	no	—
260	C₂³	—	4	1	no	—
261	C₂³	—	4	2	no	—
262	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
263	Q₈	—	2	2	no	—
264	Q₈	—	2	4	no	—
265	Q₈	C₄×M₁₆	1	4	yes	—
266	D₄	—	2	2	no	—
267	D₄	—	2	2	no	—
268	D₄	—	4	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂×C₄	—	4	1	no	—
282	C₂×C₄	—	4	1	no	—
283	C₂×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂×C₄	—	4	2	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	8	8	no	—
291	C₂×C₄	#444	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
301	C₈	—	2	2	no	—
302	C₈	—	2	2	no	—
303	C₈	—	2	4	no	—
304	C₈	—	2	4	no	—
305	C₈	—	2	4	no	—
306	C₈	—	4	4	no	—
307	C₈	—	4	4	no	—
308	C₈	—	4	4	no	—
309	C₂²	—	4	2	no	—
310	C₂²	—	4	2	no	—
311	C₂²	—	4	2	no	—
312	C₂²	—	8	2	no	—
313	C₂²	—	8	2	no	—
314	C₂²	C₄²×D₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	D₄×M₁₆	1	2	yes	—
316	C₂²	#2949	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	#2952	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₂×#444	1	2	yes	—
319	C₄	—	2	4	no	—
320	C₄	—	2	2	no	—
321	C₄	—	2	4	no	—
322	C₄	—	4	2	no	—
323	C₄	—	4	2	no	—
324	C₄	—	4	4	no	—
325	C₄	—	4	2	no	—
326	C₄	—	8	2	no	—
327	C₄	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
328	C₄	#2875	1	1	yes	characteristic
329	C₄	#2949	1	2	yes	—
330	C₄	#2952	1	2	yes	—
331	C₄	#2970	1	2	yes	—
332	C₂	—	8	2	no	—
333	C₂	#18060	1	2	yes	—
334	C₂	#18063	1	2	yes	—
335	C₂	#20491	1	1	yes	characteristic
336	C₂	#20506	1	1	yes	characteristic
337	C₂	C₄×#444	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×D₄	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1744 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20572	C₂	semidirect
5. #8290	C₂	semidirect
6. #8273	C₂	semidirect
8. #8201	C₂	semidirect
9. #8173	C₂	semidirect
11. #7842	C₂	semidirect
37. #1583	C₄	semidirect
54. C₈×Q₈	C₂×C₄	semidirect
101. #334	C₂×C₄	semidirect
102. Q₈⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
105. #322	C₂×C₄	semidirect
159. #103	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20572	2
#20567	2
C₄²×SD₁₆	2
C₂×#1583	2
#8290	2
#8273	2
#8208	2
#8201	2
#8173	2
#8172	2
#7842	2