Subgroups — #184459

Order 512.

894 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 346 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21374	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₄×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#8149	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#8148	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8147	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8147	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8146	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8144	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₈×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#408	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#1985	C₄	1	4	yes	—
17	#1955	C₄	1	4	yes	—
18	#1870	C₄	1	4	yes	—
19	#1870	C₄	1	4	yes	—
20	#1750	C₄	1	4	yes	—
21	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	#1729	C₄	1	2	yes	—
28	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₈²	C₂²	1	2	yes	—
32	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1273	C₂²	1	2	yes	—
37	#1273	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₄×#41	—	4	2	no	—
43	C₄×#41	—	4	1	no	—
44	C₄×#41	—	4	1	no	—
45	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
53	#431	—	4	2	no	—
54	#431	—	4	2	no	—
55	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	#408	—	2	8	no	—
57	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₄×M₁₆	—	4	2	no	—
65	C₄×M₁₆	—	4	2	no	—
66	C₄×M₁₆	—	4	1	no	—
67	C₄×M₁₆	—	4	1	no	—
68	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
71	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
83	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	#322	—	4	2	no	—
86	#322	—	4	2	no	—
87	#322	—	4	2	no	—
88	C₈²	—	4	2	no	—
89	C₂×#41	—	2	4	no	—
90	C₂×#41	—	4	1	no	—
91	C₂×#41	—	4	1	no	—
92	C₂×#41	—	4	2	no	—
93	C₂²×Q₈	C₄²	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×D₄	C₄²	1	2	yes	—
95	C₂²×D₄	C₄²	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
103	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
104	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
105	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
106	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
109	C₂²×C₈	M₁₆	1	8	yes	complemented
110	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
117	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
118	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
119	C₄×D₄	—	4	2	no	—
120	C₄×D₄	—	4	2	no	—
121	C₄×D₄	—	4	2	no	—
122	C₄×D₄	—	4	2	no	—
123	C₄×D₄	—	4	2	no	—
124	C₄×D₄	—	4	2	no	—
125	#117	—	4	2	no	—
126	#117	—	4	2	no	—
127	#117	—	4	1	no	—
128	#117	—	4	1	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	2	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	2	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₄²	1	2	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₄²	1	2	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₄²	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₄²	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
150	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
151	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
152	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
153	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
154	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
155	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
156	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
157	#97	—	4	2	no	—
158	#97	—	4	4	no	—
159	C₄×C₈	—	2	2	no	—
160	C₄×C₈	—	2	2	no	—
161	C₄×C₈	—	2	2	no	—
162	C₄×C₈	—	2	2	no	—
163	C₄×C₈	—	2	2	no	—
164	C₄×C₈	—	2	2	no	—
165	C₄×C₈	—	2	2	no	—
166	C₄×C₈	—	2	2	no	—
167	C₄×C₈	—	2	2	no	—
168	C₄×C₈	—	2	2	no	—
169	C₄×C₈	—	2	2	no	—
170	C₄×C₈	—	2	2	no	—
171	C₄×C₈	—	4	2	no	—
172	C₂⁴	C₂×C₄²	1	2	yes	—
173	C₂⁴	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
174	#41	—	4	8	no	—
175	#41	—	4	8	no	—
176	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
177	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
178	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
179	C₂×D₄	—	2	4	no	—
180	C₂×D₄	—	2	2	no	—
181	C₂×D₄	—	4	1	no	—
182	C₂×D₄	—	4	2	no	—
183	C₂×D₄	—	4	1	no	—
184	C₂×D₄	—	4	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
212	M₁₆	—	4	16	no	—
213	M₁₆	—	4	8	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	4	no	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	2	4	no	—
220	C₂×C₈	—	2	4	no	—
221	C₂×C₈	—	2	4	no	—
222	C₂×C₈	—	2	4	no	—
223	C₂×C₈	—	2	4	no	—
224	C₂×C₈	—	2	4	no	—
225	C₂×C₈	—	2	4	no	—
226	C₂×C₈	—	2	4	no	—
227	C₂×C₈	—	2	4	no	—
228	C₂×C₈	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	—	2	4	no	—
232	C₂×C₈	—	4	8	no	—
233	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
234	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
235	C₂×C₈	#131	1	8	yes	—
236	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
243	C₄²	—	2	1	no	—
244	C₄²	—	2	1	no	—
245	C₄²	—	2	2	no	—
246	C₄²	—	2	2	no	—
247	C₄²	—	2	2	no	—
248	C₄²	—	2	2	no	—
249	C₄²	—	2	2	no	—
250	C₄²	—	2	2	no	—
251	C₄²	—	2	2	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
254	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
255	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
256	C₂³	—	2	1	no	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	1	no	—
260	C₂³	—	2	2	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	C₄×M₁₆	1	2	yes	—
268	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
269	Q₈	—	4	4	no	—
270	D₄	—	4	4	no	—
271	D₄	—	4	8	no	—
272	C₂×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×#131	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#568	1	4	yes	—
305	C₈	—	2	4	no	—
306	C₈	—	2	4	no	—
307	C₈	—	2	8	no	—
308	C₈	—	4	4	no	—
309	C₈	—	4	4	no	—
310	C₈	—	4	4	no	—
311	C₈	—	4	4	no	—
312	C₂²	—	2	2	no	—
313	C₂²	—	2	2	no	—
314	C₂²	—	2	2	no	—
315	C₂²	—	4	2	no	—
316	C₂²	—	4	2	no	—
317	C₂²	—	4	2	no	—
318	C₂²	—	4	2	no	—
319	C₂²	—	4	2	no	—
320	C₂²	—	4	2	no	—
321	C₂²	—	4	2	no	—
322	C₂²	—	4	2	no	—
323	C₂²	—	4	2	no	—
324	C₂²	#2273	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	#2873	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₄×#131	1	2	yes	—
328	C₂²	#2875	1	2	yes	—
329	C₄	—	2	2	no	—
330	C₄	—	4	2	no	—
331	C₄	—	4	2	no	—
332	C₄	—	4	2	no	—
333	C₄	—	4	2	no	—
334	C₄	#2973	1	2	yes	—
335	C₄	#2975	1	2	yes	—
336	C₄	#2976	1	4	yes	—
337	C₄	#2981	1	4	yes	—
338	C₂	—	4	2	no	—
339	C₂	—	8	2	no	—
340	C₂	#17335	1	1	yes	characteristic
341	C₂	#17336	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#17340	1	2	yes	—
343	C₂	#20524	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#20531	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂²×C₄²
prime radical	C₂²×#41	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #8149	C₂	semidirect
4. #8148	C₂	semidirect
5. #8147	C₂	semidirect
6. #8147	C₂	semidirect
7. #8146	C₂	semidirect
8. #8144	C₂	semidirect
9. C₈×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
109. C₂²×C₈	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21374	2
C₄×#408	2
#8149	2
#8148	2
#8147	2
#8146	2
#8144	2
C₈×C₂²⋊C₈	2