Subgroups — #184485

Order 512.

894 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 339 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20777	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₄×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#8264	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#8260	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₈×C₄⋊C₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8145	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₈×C₂²⋊C₈	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂×#431	C₄	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄⋊C₈	C₄	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#1839	C₄	1	2	yes	—
14	#1831	C₄	1	2	yes	—
15	#1817	C₄	1	2	yes	—
16	#1797	C₄	1	2	yes	—
17	C₄×C₄⋊C₈	C₄	1	2	yes	—
18	C₄×C₄⋊C₈	C₄	1	2	yes	—
19	C₄×C₄⋊C₈	C₄	1	2	yes	—
20	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₄×C₂²⋊C₈	C₄	1	2	yes	—
26	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1744	C₄	1	2	yes	—
30	#1744	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#336	C₄	1	2	yes	—
32	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#322	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×C₈²	C₂²	1	4	yes	—
35	#1273	C₂²	1	4	yes	—
36	#1273	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	#431	C₈	1	16	yes	complemented
46	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
47	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
56	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#322	—	4	4	no	—
83	C₈²	—	4	4	no	—
84	C₂³×C₄	C₄²	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	C₄²	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	C₄²	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₄²	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
92	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
93	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
94	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
95	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
96	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
97	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
98	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
100	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
101	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
102	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
103	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
104	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
105	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
106	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	8	yes	—
119	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
136	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
137	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
138	C₄⋊C₈	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
139	C₄⋊C₈	M₁₆	1	8	yes	—
140	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
141	C₂²⋊C₈	C₂×C₈	1	8	yes	—
142	C₂²⋊C₈	C₂×C₈	1	8	yes	—
143	C₄×C₈	—	2	2	no	—
144	C₄×C₈	—	2	4	no	—
145	C₄×C₈	—	2	4	no	—
146	C₄×C₈	—	2	2	no	—
147	C₄×C₈	—	2	4	no	—
148	C₄×C₈	—	2	2	no	—
149	C₄×C₈	—	2	2	no	—
150	C₄×C₈	—	2	4	no	—
151	C₄×C₈	—	4	4	no	—
152	C₄×C₈	—	4	4	no	—
153	C₄×C₈	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
154	C₂⁴	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
172	C₂²×C₄	C₄×C₈	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	C₄×C₈	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
186	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₈	—	2	4	no	—
192	C₂×C₈	—	2	4	no	—
193	C₂×C₈	—	2	4	no	—
194	C₂×C₈	—	2	4	no	—
195	C₂×C₈	—	2	4	no	—
196	C₂×C₈	—	2	4	no	—
197	C₂×C₈	—	2	4	no	—
198	C₂×C₈	—	2	8	no	—
199	C₂×C₈	—	2	4	no	—
200	C₂×C₈	—	2	8	no	—
201	C₂×C₈	—	2	8	no	—
202	C₂×C₈	—	2	4	no	—
203	C₂×C₈	—	4	16	no	—
204	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	8	yes	—
205	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	8	yes	—
206	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
207	C₄²	—	2	1	no	—
208	C₄²	—	2	1	no	—
209	C₄²	—	2	2	no	—
210	C₄²	—	2	2	no	—
211	C₄²	—	2	2	no	—
212	C₄²	—	2	2	no	—
213	C₄²	—	2	2	no	—
214	C₄²	—	2	2	no	—
215	C₄²	—	2	2	no	—
216	C₄²	—	2	2	no	—
217	C₄²	—	2	2	no	—
218	C₄²	—	2	2	no	—
219	C₄²	—	2	2	no	—
220	C₄²	—	2	2	no	—
221	C₄²	—	2	2	no	—
222	C₄²	—	2	2	no	—
223	C₄²	—	2	2	no	—
224	C₄²	—	2	2	no	—
225	C₄²	—	2	2	no	—
226	C₄²	—	2	2	no	—
227	C₄²	—	4	1	no	—
228	C₄²	—	4	1	no	—
229	C₄²	C₄×C₈	1	4	yes	—
230	C₄²	C₄×C₈	1	4	yes	—
231	C₄²	C₂²×C₈	1	4	yes	—
232	C₄²	C₂²×C₈	1	4	yes	—
233	C₄²	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
234	C₄²	#131	1	4	yes	—
235	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
236	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
237	C₂³	—	2	1	no	—
238	C₂³	—	2	1	no	—
239	C₂³	—	2	1	no	—
240	C₂³	—	2	1	no	—
241	C₂³	C₂×C₄×C₈	1	2	yes	—
242	C₂³	#405	1	2	yes	—
243	C₂³	#405	1	2	yes	—
244	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₄	—	2	1	no	—
246	C₂×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂×C₄	—	2	1	no	—
249	C₂×C₄	—	2	1	no	—
250	C₂×C₄	—	2	1	no	—
251	C₂×C₄	—	2	1	no	—
252	C₂×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂×C₄	—	2	1	no	—
254	C₂×C₄	—	2	1	no	—
255	C₂×C₄	—	2	1	no	—
256	C₂×C₄	—	2	1	no	—
257	C₂×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	8	no	—
265	C₂×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂×C₄	—	2	8	no	—
267	C₂×C₄	—	2	1	no	—
268	C₂×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂×C₄	—	2	1	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	#405	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	#405	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	#405	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	#405	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
296	C₈	—	2	8	no	—
297	C₈	—	2	8	no	—
298	C₈	—	2	8	no	—
299	C₈	—	4	4	no	—
300	C₈	—	4	8	no	—
301	C₂²	—	2	2	no	—
302	C₂²	—	2	2	no	—
303	C₂²	—	2	2	no	—
304	C₂²	—	2	2	no	—
305	C₂²	—	2	2	no	—
306	C₂²	—	2	2	no	—
307	C₂²	#1450	1	4	yes	—
308	C₂²	#2274	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	C₂²×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	C₂×#405	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	C₂×#405	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	C₂×#405	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	#2873	1	1	yes	characteristic
315	C₄	—	2	2	no	—
316	C₄	—	2	2	no	—
317	C₄	—	2	2	no	—
318	C₄	—	2	2	no	—
319	C₄	—	2	2	no	—
320	C₄	—	2	2	no	—
321	C₄	—	2	2	no	—
322	C₄	—	2	2	no	—
323	C₄	—	4	1	no	—
324	C₄	—	4	1	no	—
325	C₄	C₈×M₁₆	1	4	yes	—
326	C₄	#2974	1	2	yes	—
327	C₄	#2984	1	2	yes	—
328	C₄	#2988	1	4	yes	—
329	C₄	#2994	1	4	yes	—
330	C₂	—	2	4	no	—
331	C₂	C₂×C₈×M₁₆	1	1	yes	characteristic
332	C₂	C₂×#1450	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#17326	1	1	yes	characteristic
334	C₂	#17327	1	1	yes	characteristic
335	C₂	#20535	1	1	yes	characteristic
336	C₂	#20543	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#20545	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂²×C₄×C₈
socle	C₂³	C₂²×C₄²
prime radical	C₂⁴	C₂×C₄²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #8264	C₂	semidirect
5. #8260	C₂	semidirect
6. C₈×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
45. #431	C₈	semidirect
138. C₄⋊C₈	C₂×C₈	semidirect
153. C₄×C₈	C₂×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20777	2
C₄×#431	2
C₂×C₄×C₄⋊C₈	2
#8264	2
#8260	2
C₈×C₄⋊C₈	2
#8145	2
C₈×C₂²⋊C₈	2