Subgroups — #185149

Order 512.

2190 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 392 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3504	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21379	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1534	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1531	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂²×#330	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#8338	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#8335	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#3504	—	2	8	no	—
9	#3504	—	2	4	no	—
10	#3504	—	2	4	no	—
11	C₂×#557	—	2	2	no	—
12	C₂×#554	—	2	4	no	—
13	C₂×#554	—	2	2	no	—
14	C₂×#544	C₄	1	4	yes	—
15	C₂×#544	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#125	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#520	C₄	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
24	#1985	—	2	2	no	—
25	#1955	—	2	2	no	—
26	#1869	—	2	4	no	—
27	#1749	C₂²	1	8	yes	—
28	#1534	—	2	4	no	—
29	#1531	—	2	8	no	—
30	C₂×#330	—	2	4	no	—
31	C₂×#330	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#330	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#330	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#330	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
37	#557	—	2	16	no	—
38	#557	—	2	16	no	—
39	#554	—	2	16	no	—
40	#554	—	2	16	no	—
41	#554	—	2	32	no	—
42	#554	—	2	32	no	—
43	#544	—	2	16	no	—
44	#544	—	2	16	no	—
45	#544	—	2	8	no	—
46	#544	—	2	8	no	—
47	#533	—	2	8	no	—
48	#533	—	2	4	no	—
49	#533	—	2	4	no	—
50	#533	—	2	2	no	—
51	#533	—	2	2	no	—
52	#533	D₄	1	8	yes	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×#125	—	2	8	no	—
58	C₂×#125	—	2	4	no	—
59	C₂×#125	—	2	4	no	—
60	C₂×#125	—	2	4	no	—
61	C₂×#125	—	2	2	no	—
62	C₂×#125	—	2	4	no	—
63	C₂×#125	—	2	2	no	—
64	C₂×#125	—	2	4	no	—
65	C₂×#125	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×#125	D₄	1	4	yes	—
68	C₂×#125	D₄	1	4	yes	—
69	C₂×#125	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#125	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
75	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
76	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
77	#520	—	2	8	no	—
78	#520	—	2	8	no	—
79	C₄×#41	—	2	4	no	—
80	C₄×#41	—	2	2	no	—
81	C₄×#41	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
84	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
88	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
89	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
90	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
91	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
97	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	#432	—	2	4	no	—
101	#432	—	2	4	no	—
102	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
103	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
104	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
105	C₂×#97	—	2	4	no	—
106	C₂×#97	—	2	4	no	—
107	C₂×#97	—	2	2	no	—
108	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
110	#336	—	2	8	no	—
111	#330	—	2	8	no	—
112	#330	—	2	8	no	—
113	#330	—	2	8	no	—
114	#330	—	2	8	no	—
115	C₂×#41	—	2	8	no	—
116	C₂×#41	—	2	2	no	—
117	C₂×#41	—	2	2	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
132	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
138	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
139	#125	—	2	16	no	—
140	#125	—	2	16	no	—
141	#125	—	2	32	no	—
142	#125	—	2	16	no	—
143	#125	—	2	8	no	—
144	#125	—	2	8	no	—
145	#125	—	2	4	no	—
146	#125	—	2	8	no	—
147	#125	—	2	8	no	—
148	#125	—	2	1	no	—
149	#125	—	2	1	no	—
150	#125	—	2	4	no	—
151	#125	—	2	1	no	—
152	#125	—	2	1	no	—
153	#125	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
154	#125	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	#125	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	#125	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	#125	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
159	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
160	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
161	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
162	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
163	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
164	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
165	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
166	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
168	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
169	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
170	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
171	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
172	C₄×D₄	—	2	32	no	—
173	C₄×D₄	—	2	16	no	—
174	C₄×D₄	—	2	8	no	—
175	C₄×D₄	—	2	8	no	—
176	C₄×D₄	—	2	4	no	—
177	C₄×D₄	—	2	4	no	—
178	#117	—	2	2	no	—
179	#117	—	2	2	no	—
180	#117	—	2	4	no	—
181	#117	—	2	8	no	—
182	#117	—	2	8	no	—
183	#117	—	2	4	no	—
184	#117	—	2	4	no	—
185	#117	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
205	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
206	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
208	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
213	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
216	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
217	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
219	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
221	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
222	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
227	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
228	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
229	#97	—	2	4	no	—
230	#97	—	2	4	no	—
231	#97	—	2	4	no	—
232	#97	—	2	4	no	—
233	#97	—	4	4	no	—
234	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
235	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
236	#41	—	2	16	no	—
237	#41	—	2	16	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
241	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
242	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
243	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
244	C₂×D₄	—	2	4	no	—
245	C₂×D₄	—	2	4	no	—
246	C₂×D₄	—	2	4	no	—
247	C₂×D₄	—	2	2	no	—
248	C₂×D₄	#101	1	8	yes	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
263	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
265	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
272	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
275	C₂×C₈	—	2	8	no	—
276	C₂×C₈	—	4	4	no	—
277	C₂×C₈	—	4	16	no	—
278	C₂×C₈	—	4	4	no	—
279	C₂×C₈	—	4	8	no	—
280	C₂×C₈	—	4	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
300	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
301	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
302	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
306	C₄²	—	2	16	no	—
307	C₄²	—	2	2	no	—
308	C₄²	—	2	2	no	—
309	C₄²	—	2	4	no	—
310	C₄²	—	2	4	no	—
311	C₄²	—	2	8	no	—
312	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
313	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
314	C₄²	#120	1	4	yes	—
315	C₄²	#120	1	4	yes	—
316	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
317	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
318	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₂³	—	2	4	no	—
320	C₂³	—	2	2	no	—
321	C₂³	—	2	8	no	—
322	C₂³	—	2	2	no	—
323	C₂³	#379	1	2	yes	—
324	C₂³	C₂×#101	1	4	yes	—
325	C₂³	C₂×#101	1	4	yes	—
326	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
327	Q₈	—	2	8	no	—
328	Q₈	—	8	8	no	—
329	Q₈	—	8	16	no	—
330	D₄	—	2	8	no	—
331	D₄	—	2	16	no	—
332	C₂×C₄	—	2	8	no	—
333	C₂×C₄	—	2	8	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	8	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	8	no	—
346	C₂×C₄	—	2	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	8	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	8	4	no	—
353	C₂×C₄	—	8	4	no	—
354	C₂×C₄	—	8	8	no	—
355	C₂×C₄	—	8	16	no	—
356	C₂×C₄	#379	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#379	1	4	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×#101	1	4	yes	—
359	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
363	C₈	—	4	8	no	—
364	C₈	—	8	4	no	—
365	C₂²	—	2	8	no	—
366	C₂²	—	2	4	no	—
367	C₂²	—	2	8	no	—
368	C₂²	—	2	4	no	—
369	C₂²	—	4	4	no	—
370	C₂²	—	4	4	no	—
371	C₂²	#1784	1	4	yes	—
372	C₂²	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	C₂²×#101	1	2	yes	—
374	C₂²	#2901	1	4	yes	—
375	C₄	—	2	1	no	—
376	C₄	—	2	1	no	—
377	C₄	—	2	2	no	—
378	C₄	—	2	4	no	—
379	C₄	—	2	2	no	—
380	C₄	—	2	2	no	—
381	C₄	—	2	4	no	—
382	C₄	—	4	4	no	—
383	C₄	—	4	8	no	—
384	C₄	—	4	4	no	—
385	C₄	—	4	4	no	—
386	C₂	—	2	4	no	—
387	C₂	—	4	4	no	—
388	C₂	#17689	1	4	yes	—
389	C₂	C₂×#1784	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#20606	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1534	C₂	semidirect
4. C₂×#1531	C₂	semidirect
5. C₂²×#330	C₂	semidirect
6. #8338	C₂	semidirect
7. #8335	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3504	2
#21379	2
C₂×#1534	2
C₂×#1531	2
C₂²×#330	2
#8338	2
#8335	2