Subgroups — #185176

Order 512.

3506 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 386 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20714	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20626	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1549	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#8340	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₂⁴×Q₈	—	2	1	no	—
7	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
8	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
9	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
10	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
11	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	1	4	yes	—
13	C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂³×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
17	C₂³×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
18	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#407	—	2	1	no	—
22	#1817	—	2	1	no	—
23	#1797	—	2	2	no	—
24	#1797	C₂²	1	4	yes	—
25	#1797	C₂²	1	4	yes	—
26	#1779	—	2	1	no	—
27	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
28	#1728	—	2	1	no	—
29	#1549	—	2	16	no	—
30	C₂×#332	C₂²	1	16	yes	complemented
31	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
32	C₂³×Q₈	—	2	4	no	—
33	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
34	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
35	C₂³×Q₈	—	2	4	no	—
36	C₂³×Q₈	—	4	16	no	—
37	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
38	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	16	yes	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
72	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#431	—	2	8	no	—
81	#423	—	2	8	no	—
82	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
85	#407	—	4	4	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
90	#336	—	2	4	no	—
91	#336	—	2	4	no	—
92	#332	—	2	32	no	—
93	C₂⁵	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
95	C₂²×Q₈	—	2	32	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	32	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
101	C₂²×Q₈	—	4	128	no	—
102	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
103	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
104	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
105	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
106	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
107	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
117	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
118	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
124	C₂³×C₄	SD₁₆	1	4	yes	—
125	C₂³×C₄	Q₁₆	1	4	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
147	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
148	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
164	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
171	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
182	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
184	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
185	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
186	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
188	C₄×C₈	—	4	4	no	—
189	C₂⁴	—	2	2	no	—
190	C₂⁴	—	2	4	no	—
191	C₂⁴	—	2	4	no	—
192	C₂⁴	—	2	2	no	—
193	C₂⁴	#103	1	4	yes	—
194	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
196	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	128	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	128	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
240	C₂²×C₄	#101	1	8	yes	—
241	C₂²×C₄	#103	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	#103	1	8	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
257	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	M₁₆	—	8	8	no	—
262	C₂×C₈	—	4	4	no	—
263	C₂×C₈	—	4	4	no	—
264	C₂×C₈	—	4	4	no	—
265	C₂×C₈	—	4	8	no	—
266	C₂×C₈	—	4	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
273	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
274	C₄²	—	2	4	no	—
275	C₄²	—	2	4	no	—
276	C₄²	—	2	4	no	—
277	C₄²	—	2	4	no	—
278	C₄²	—	2	4	no	—
279	C₄²	—	2	4	no	—
280	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
281	C₄²	#120	1	4	yes	—
282	C₄²	#120	1	4	yes	—
283	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
284	C₂³	—	2	8	no	—
285	C₂³	—	2	8	no	—
286	C₂³	—	2	16	no	—
287	C₂³	—	2	16	no	—
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	2	8	no	—
295	C₂³	#379	1	2	yes	—
296	C₂³	C₂×#101	1	4	yes	—
297	C₂³	C₂×#103	1	4	yes	—
298	C₂³	C₂×#103	1	2	yes	—
299	C₂³	#418	1	4	yes	—
300	C₂³	#419	1	2	yes	—
301	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
302	Q₈	—	4	32	no	—
303	Q₈	—	4	64	no	—
304	Q₈	—	4	32	no	—
305	C₂×C₄	—	2	16	no	—
306	C₂×C₄	—	2	8	no	—
307	C₂×C₄	—	2	16	no	—
308	C₂×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	8	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	8	no	—
320	C₂×C₄	—	2	8	no	—
321	C₂×C₄	—	2	16	no	—
322	C₂×C₄	—	2	16	no	—
323	C₂×C₄	—	2	8	no	—
324	C₂×C₄	—	2	16	no	—
325	C₂×C₄	—	2	16	no	—
326	C₂×C₄	—	4	32	no	—
327	C₂×C₄	—	4	64	no	—
328	C₂×C₄	—	4	16	no	—
329	C₂×C₄	#379	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#379	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#379	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#101	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#101	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#103	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#103	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#418	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	#419	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#448	1	8	yes	—
339	C₂×C₄	#451	1	8	yes	—
340	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
347	C₈	—	8	4	no	—
348	C₈	—	8	4	no	—
349	C₂²	—	2	32	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	2	4	no	—
352	C₂²	—	2	4	no	—
353	C₂²	—	2	4	no	—
354	C₂²	—	2	4	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	2	4	no	—
357	C₂²	—	2	4	no	—
358	C₂²	—	2	2	no	—
359	C₂²	—	2	4	no	—
360	C₂²	#1549	1	8	yes	complemented
361	C₂²	#1787	1	4	yes	—
362	C₂²	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂²×#101	1	2	yes	—
364	C₂²	C₂²×#103	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	C₂×#418	1	2	yes	—
366	C₂²	C₂×#419	1	1	yes	characteristic
367	C₄	—	2	2	no	—
368	C₄	—	2	4	no	—
369	C₄	—	2	4	no	—
370	C₄	—	2	2	no	—
371	C₄	—	2	4	no	—
372	C₄	—	4	16	no	—
373	C₄	#1784	1	4	yes	—
374	C₄	#1787	1	4	yes	—
375	C₄	C₂×#448	1	2	yes	—
376	C₄	C₂×#451	1	2	yes	—
377	C₄	#3003	1	4	yes	—
378	C₂	—	2	8	no	—
379	C₂	—	2	4	no	—
380	C₂	C₂×#1549	1	2	yes	—
381	C₂	#17742	1	2	yes	—
382	C₂	C₂×#1784	1	1	yes	characteristic
383	C₂	C₂×#1787	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#20598	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂²⋊C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₂×#1549	C₂	semidirect
5. #8340	C₂	semidirect
30. C₂×#332	C₂²	semidirect
360. C₂²	#1549	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₄⋊Q₈	2
#20714	2
#20626	2
C₂×#1549	2
#8340	2