Subgroups — #185203

Order 512.

3454 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 373 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20715	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20715	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1556	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#8340	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₂⁴×Q₈	—	2	1	no	—
7	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
8	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
9	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
10	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
11	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	1	4	yes	—
13	C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂³×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
17	C₂³×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
18	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
21	#1817	—	2	1	no	—
22	#1817	—	2	1	no	—
23	#1797	C₂²	1	4	yes	—
24	#1797	C₂²	1	4	yes	—
25	#1779	—	2	1	no	—
26	#1779	—	2	1	no	—
27	#1749	—	2	2	no	—
28	#1749	—	2	2	no	—
29	#1556	—	2	16	no	—
30	C₂×#332	C₂²	1	16	yes	complemented
31	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
32	C₂³×Q₈	—	2	4	no	—
33	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
34	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
35	C₂³×Q₈	—	2	4	no	—
36	C₂³×Q₈	—	4	16	no	—
37	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
38	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	16	yes	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
71	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	#432	—	2	8	no	—
80	#432	—	2	8	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
87	C₂×#97	—	2	2	no	—
88	C₂×#97	—	2	2	no	—
89	#336	—	2	4	no	—
90	#336	—	2	4	no	—
91	#332	—	2	32	no	—
92	C₂⁵	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
94	C₂²×Q₈	—	2	32	no	—
95	C₂²×Q₈	—	2	32	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
98	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×Q₈	—	4	128	no	—
101	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
102	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
103	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
104	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
105	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
106	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
117	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
118	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
142	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
143	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
159	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
166	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
177	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
179	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
180	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
181	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
182	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
183	#97	—	4	4	no	—
184	#97	—	4	4	no	—
185	C₂⁴	—	2	2	no	—
186	C₂⁴	—	2	2	no	—
187	C₂⁴	—	2	4	no	—
188	C₂⁴	—	2	4	no	—
189	C₂⁴	#101	1	4	yes	—
190	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
192	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	128	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	128	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
239	C₂²×C₄	#101	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
250	C₂²×C₄	#137	1	8	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₈	—	4	4	no	—
255	C₂×C₈	—	4	4	no	—
256	C₂×C₈	—	4	8	no	—
257	C₂×C₈	—	4	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
264	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	2	4	no	—
271	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
272	C₄²	#120	1	4	yes	—
273	C₄²	#120	1	4	yes	—
274	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
275	C₂³	—	2	8	no	—
276	C₂³	—	2	8	no	—
277	C₂³	—	2	16	no	—
278	C₂³	—	2	16	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	8	no	—
286	C₂³	#379	1	2	yes	—
287	C₂³	C₂×#101	1	4	yes	—
288	C₂³	C₂×#101	1	2	yes	—
289	C₂³	C₂×#101	1	2	yes	—
290	C₂³	#418	1	4	yes	—
291	C₂³	#419	1	4	yes	—
292	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
293	Q₈	—	4	32	no	—
294	Q₈	—	4	64	no	—
295	Q₈	—	4	32	no	—
296	C₂×C₄	—	2	16	no	—
297	C₂×C₄	—	2	16	no	—
298	C₂×C₄	—	2	16	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	16	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	8	no	—
316	C₂×C₄	—	2	8	no	—
317	C₂×C₄	—	2	16	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	16	no	—
320	C₂×C₄	—	2	16	no	—
321	C₂×C₄	—	4	32	no	—
322	C₂×C₄	—	4	64	no	—
323	C₂×C₄	—	4	16	no	—
324	C₂×C₄	#379	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#379	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#379	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#101	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	#418	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	#419	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
335	C₈	—	8	4	no	—
336	C₈	—	8	4	no	—
337	C₂²	—	2	32	no	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	2	4	no	—
342	C₂²	—	2	4	no	—
343	C₂²	—	2	4	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	4	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	2	4	no	—
348	C₂²	#1556	1	8	yes	complemented
349	C₂²	#1784	1	4	yes	—
350	C₂²	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂²×#101	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂²×#101	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂×#418	1	2	yes	—
354	C₂²	C₂×#419	1	2	yes	—
355	C₄	—	2	2	no	—
356	C₄	—	2	2	no	—
357	C₄	—	2	4	no	—
358	C₄	—	2	2	no	—
359	C₄	—	2	4	no	—
360	C₄	—	2	2	no	—
361	C₄	—	2	4	no	—
362	C₄	—	4	16	no	—
363	C₄	#3003	1	4	yes	—
364	C₄	#3004	1	4	yes	—
365	C₂	—	2	8	no	—
366	C₂	—	2	4	no	—
367	C₂	C₂×#1556	1	2	yes	—
368	C₂	#17742	1	2	yes	—
369	C₂	C₂×#1784	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#20598	1	1	yes	characteristic
371	C₂	#20599	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂²⋊C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₂×#1556	C₂	semidirect
5. #8340	C₂	semidirect
30. C₂×#332	C₂²	semidirect
348. C₂²	#1556	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₄⋊Q₈	2
#20715	2
C₂×#1556	2
#8340	2