Subgroups — #185240

Order 512.

2586 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 391 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3508	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21849	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1561	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1545	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1544	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#8341	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#3508	—	2	4	no	—
8	#3508	—	2	4	no	—
9	#3508	—	2	8	no	—
10	C₂×#559	—	2	2	no	—
11	C₂×#550	—	2	2	no	—
12	C₂×#546	—	2	4	no	—
13	C₂×#540	C₄	1	4	yes	—
14	C₂×#535	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#532	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#518	C₄	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
22	#1984	—	2	2	no	—
23	#1954	—	2	2	no	—
24	#1870	—	2	4	no	—
25	#1797	C₂²	1	8	yes	complemented
26	#1561	—	2	4	no	—
27	#1545	—	2	8	no	—
28	#1544	—	2	4	no	—
29	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	complemented
30	C₂×#332	C₂²	1	4	yes	complemented
31	C₂×#331	C₂²	1	8	yes	—
32	C₂²×#41	—	2	4	no	—
33	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
35	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
37	#559	—	2	16	no	—
38	#559	—	2	16	no	—
39	#550	—	2	16	no	—
40	#550	—	2	16	no	—
41	#546	—	2	32	no	—
42	#546	—	2	32	no	—
43	#540	—	2	16	no	—
44	#540	—	2	16	no	—
45	#535	—	2	8	no	—
46	#535	—	2	8	no	—
47	#533	—	2	4	no	—
48	#533	D₄	1	4	yes	—
49	#533	D₄	1	4	yes	—
50	#532	—	2	8	no	—
51	#532	—	2	8	no	—
52	#532	—	2	8	no	—
53	#532	—	2	8	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#127	—	2	2	no	—
56	C₂×#127	—	2	2	no	—
57	C₂×#127	—	2	2	no	—
58	C₂×#127	—	2	2	no	—
59	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×#127	D₄	1	8	yes	—
61	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×#124	—	2	2	no	—
64	C₂×#124	—	2	4	no	—
65	C₂×#123	—	2	8	no	—
66	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
67	C₂×#121	—	2	4	no	—
68	C₂×#121	—	2	8	no	—
69	C₂×#121	C₂×C₄	1	8	yes	—
70	C₂×#120	—	2	4	no	—
71	#518	—	2	8	no	—
72	#518	—	2	8	no	—
73	C₄×#41	—	2	2	no	—
74	C₄×#41	—	2	2	no	—
75	C₄×#41	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
81	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
82	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
83	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
87	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#431	—	2	4	no	—
90	#431	—	2	4	no	—
91	#423	—	2	4	no	—
92	#423	—	2	4	no	—
93	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
98	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
99	#336	—	2	8	no	—
100	#332	—	2	8	no	—
101	#332	—	2	8	no	—
102	#331	—	2	16	no	—
103	C₂⁵	—	2	2	no	—
104	C₂×#41	—	2	16	no	—
105	C₂×#41	—	2	16	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	4	4	no	—
109	C₂×#41	—	8	8	no	—
110	C₂×#41	—	8	8	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
120	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
121	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
122	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
123	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
125	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
126	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
128	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
138	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
140	#127	—	2	16	no	—
141	#127	—	2	4	no	—
142	#127	—	2	8	no	—
143	#127	—	2	8	no	—
144	#127	—	2	2	no	—
145	#127	—	2	2	no	—
146	#127	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
147	#127	C₂×D₄	1	8	yes	—
148	#125	—	2	4	no	—
149	#125	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
150	#124	—	2	16	no	—
151	#124	—	2	16	no	—
152	#124	—	2	16	no	—
153	#123	—	2	64	no	—
154	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
155	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
156	#121	—	2	16	no	—
157	#121	—	2	16	no	—
158	#121	—	2	64	no	—
159	#121	—	2	16	no	—
160	#121	—	2	16	no	—
161	#120	—	2	32	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
163	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
164	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
165	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
166	C₄×D₄	—	2	32	no	—
167	C₄×D₄	—	2	16	no	—
168	C₄×D₄	—	2	16	no	—
169	C₄×D₄	—	2	16	no	—
170	C₄×D₄	—	2	8	no	—
171	C₄×D₄	—	2	8	no	—
172	C₄×D₄	—	2	16	no	—
173	C₄×D₄	—	2	4	no	—
174	C₄×D₄	—	2	4	no	—
175	#117	—	2	2	no	—
176	#117	—	2	2	no	—
177	#117	—	2	4	no	—
178	#117	—	2	4	no	—
179	#117	—	2	4	no	—
180	#117	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
185	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
192	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
204	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
205	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
206	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
207	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
208	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
209	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
210	C₂²⋊C₈	—	8	8	no	—
211	C₄×C₈	—	4	4	no	—
212	C₂⁴	—	2	4	no	—
213	C₂⁴	—	2	8	no	—
214	C₂⁴	—	4	8	no	—
215	C₂⁴	—	8	8	no	—
216	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
217	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
218	#41	—	4	8	no	—
219	#41	—	4	8	no	—
220	#41	—	8	16	no	—
221	#41	—	8	16	no	—
222	#41	—	8	32	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
229	C₂×D₄	—	2	4	no	—
230	C₂×D₄	—	2	32	no	—
231	C₂×D₄	—	2	4	no	—
232	C₂×D₄	—	2	8	no	—
233	C₂×D₄	—	2	8	no	—
234	C₂×D₄	—	2	8	no	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	—	2	16	no	—
237	C₂×D₄	—	2	4	no	—
238	C₂×D₄	—	4	4	no	—
239	C₂×D₄	—	4	8	no	—
240	C₂×D₄	—	4	16	no	—
241	C₂×D₄	—	4	16	no	—
242	C₂×D₄	—	4	8	no	—
243	C₂×D₄	—	4	8	no	—
244	C₂×D₄	—	4	8	no	—
245	C₂×D₄	—	8	8	no	—
246	C₂×D₄	—	8	8	no	—
247	C₂×D₄	—	8	16	no	—
248	C₂×D₄	—	8	8	no	—
249	C₂×D₄	—	8	16	no	—
250	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
264	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
274	M₁₆	—	8	8	no	—
275	C₂×C₈	—	4	4	no	—
276	C₂×C₈	—	4	4	no	—
277	C₂×C₈	—	4	4	no	—
278	C₂×C₈	—	4	8	no	—
279	C₂×C₈	—	4	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
286	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
287	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
292	C₄²	—	2	2	no	—
293	C₄²	—	2	2	no	—
294	C₄²	—	2	4	no	—
295	C₄²	—	2	4	no	—
296	C₄²	—	2	8	no	—
297	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
298	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
299	C₄²	#120	1	4	yes	—
300	C₄²	#120	1	4	yes	—
301	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
302	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
303	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
304	C₂³	—	2	2	no	—
305	C₂³	—	2	4	no	—
306	C₂³	—	2	4	no	—
307	C₂³	—	2	8	no	—
308	C₂³	—	2	8	no	—
309	C₂³	—	2	2	no	—
310	C₂³	—	4	16	no	—
311	C₂³	—	4	8	no	—
312	C₂³	—	4	16	no	—
313	C₂³	—	8	16	no	—
314	C₂³	—	16	16	no	—
315	C₂³	#379	1	2	yes	—
316	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
317	Q₈	—	4	4	no	—
318	Q₈	—	4	4	no	—
319	Q₈	—	4	8	no	—
320	Q₈	—	4	4	no	—
321	D₄	—	4	8	no	—
322	D₄	—	4	8	no	—
323	D₄	—	4	8	no	—
324	D₄	—	4	8	no	—
325	D₄	—	4	8	no	—
326	D₄	—	4	16	no	—
327	D₄	—	4	4	no	—
328	D₄	—	4	16	no	—
329	D₄	—	8	16	no	—
330	D₄	—	8	32	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	8	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	8	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	8	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	8	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	8	no	—
349	C₂×C₄	—	8	32	no	—
350	C₂×C₄	#379	1	4	yes	—
351	C₂×C₄	#379	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#413	1	4	yes	—
353	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
358	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
359	C₈	—	8	4	no	—
360	C₈	—	8	4	no	—
361	C₂²	—	2	2	no	—
362	C₂²	—	2	4	no	—
363	C₂²	—	4	4	no	—
364	C₂²	—	4	2	no	—
365	C₂²	—	4	8	no	—
366	C₂²	—	4	8	no	—
367	C₂²	—	4	4	no	—
368	C₂²	—	4	16	no	—
369	C₂²	—	8	16	no	—
370	C₂²	—	16	16	no	—
371	C₂²	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	C₂×#413	1	2	yes	—
373	C₂²	#2897	1	4	yes	—
374	C₄	—	2	1	no	—
375	C₄	—	2	1	no	—
376	C₄	—	2	4	no	—
377	C₄	—	4	2	no	—
378	C₄	—	4	4	no	—
379	C₄	—	4	8	no	—
380	C₄	#1785	1	4	yes	—
381	C₄	#3008	1	2	yes	—
382	C₄	#3009	1	2	yes	—
383	C₄	#3012	1	4	yes	—
384	C₂	—	4	2	no	—
385	C₂	—	8	2	no	—
386	C₂	—	8	8	no	—
387	C₂	#17776	1	4	yes	—
388	C₂	C₂×#1785	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#20602	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#3508	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21849	C₂	semidirect
3. C₂×#1561	C₂	semidirect
4. C₂×#1545	C₂	semidirect
5. C₂×#1544	C₂	semidirect
6. #8341	C₂	semidirect
25. #1797	C₂²	semidirect
29. C₂×#332	C₂²	semidirect
30. C₂×#332	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3508	2
#21849	2
C₂×#1561	2
C₂×#1545	2
C₂×#1544	2
#8341	2