Subgroups — #186012

Order 512.

3340 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 410 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3497	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21395	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1505	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1467	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13850	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#8404	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	C₂²×2₋¹⁺⁴	—	2	1	no	—
8	#3497	—	2	8	no	—
9	#3497	—	2	4	no	—
10	#3497	C₄	1	8	yes	complemented
11	C₂×#550	—	2	2	no	—
12	C₂×D₄×Q₈	—	2	2	no	—
13	C₂×#548	—	2	4	no	—
14	C₂×#537	—	2	1	no	—
15	C₂×#537	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#532	—	2	2	no	—
17	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1987	—	2	2	no	—
23	#1982	—	2	2	no	—
24	#1874	C₂²	1	8	yes	—
25	#1762	—	2	4	no	—
26	#1505	—	2	8	no	—
27	C₂×#327	C₂²	1	8	yes	—
28	#1467	—	2	4	no	—
29	C₂×#324	C₂²	1	4	yes	—
30	#1446	—	2	1	no	—
31	#1445	—	2	1	no	—
32	#1441	C₂²	1	4	yes	—
33	C₄×#95	—	2	2	no	—
34	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
35	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
36	C₂×2₋¹⁺⁴	—	4	16	no	—
37	C₂²×#41	—	2	4	no	—
38	C₂²×#41	—	2	4	no	—
39	C₂²×#41	—	2	2	no	—
40	C₂³×Q₈	—	2	4	no	—
41	C₂³×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
42	#550	—	2	16	no	—
43	#550	—	2	16	no	—
44	D₄×Q₈	—	2	16	no	—
45	D₄×Q₈	—	2	16	no	—
46	#548	—	2	32	no	—
47	#548	—	2	32	no	—
48	#537	—	2	8	no	—
49	#537	—	2	16	no	—
50	#537	—	2	8	no	—
51	#537	—	2	8	no	—
52	#537	C₂×C₄	1	16	yes	—
53	#532	—	2	16	no	—
54	#532	—	2	16	no	—
55	#532	—	2	4	no	—
56	#532	—	2	4	no	—
57	#532	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	#532	D₄	1	8	yes	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
61	C₂×#127	—	2	2	no	—
62	C₂×#127	D₄	1	2	yes	—
63	C₂×#124	—	2	4	no	—
64	C₂×#124	—	2	2	no	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
67	C₂×#121	—	2	4	no	—
68	C₂×#121	—	2	8	no	—
69	C₂×#121	—	2	2	no	—
70	C₂×#121	—	2	4	no	—
71	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	4	yes	—
77	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
81	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
85	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
86	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#432	—	2	4	no	—
89	#432	—	2	4	no	—
90	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
91	C₂×#102	—	2	8	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×#97	—	2	2	no	—
94	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
95	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
96	#376	—	2	4	no	—
97	C₂×#95	—	2	4	no	—
98	C₂×#95	—	2	4	no	—
99	C₂×#95	—	2	1	no	—
100	C₂×#95	—	2	1	no	—
101	C₂×#95	C₂³	1	2	yes	—
102	#340	—	2	8	no	—
103	#327	—	2	16	no	—
104	#324	—	2	8	no	—
105	2₋¹⁺⁴	—	4	64	no	—
106	2₋¹⁺⁴	—	4	64	no	—
107	C₂×#41	—	2	16	no	—
108	C₂×#41	—	2	32	no	—
109	C₂×#41	—	2	16	no	—
110	C₂×#41	—	2	8	no	—
111	C₂×#41	—	2	8	no	—
112	C₂×#41	—	4	16	no	—
113	C₂×#41	—	4	16	no	—
114	C₂×#41	—	4	32	no	—
115	C₂×#41	—	4	16	no	—
116	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	32	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
122	C₂²×Q₈	—	4	32	no	—
123	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
124	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
131	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
142	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
143	#127	—	2	16	no	—
144	#127	—	2	4	no	—
145	#127	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
146	#124	—	2	32	no	—
147	#124	—	2	8	no	—
148	#124	—	2	8	no	—
149	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
150	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
152	#121	—	2	16	no	—
153	#121	—	2	32	no	—
154	#121	—	2	32	no	—
155	#121	—	2	32	no	—
156	#121	—	2	8	no	—
157	#121	—	2	16	no	—
158	#121	—	2	8	no	—
159	#121	—	2	4	no	—
160	#121	—	2	4	no	—
161	#121	C₂²×C₄	1	8	yes	—
162	#121	C₂×D₄	1	8	yes	—
163	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
164	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
165	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
166	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
167	C₄×D₄	—	2	32	no	—
168	C₄×D₄	—	2	32	no	—
169	C₄×D₄	—	2	8	no	—
170	C₄×D₄	—	2	8	no	—
171	C₄×D₄	—	2	8	no	—
172	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
193	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
194	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
195	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
196	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
197	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
204	#102	—	4	16	no	—
205	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
206	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
207	#97	—	4	4	no	—
208	#95	—	2	4	no	—
209	#95	—	4	8	no	—
210	#95	—	4	2	no	—
211	#95	—	4	2	no	—
212	#95	—	4	8	no	—
213	C₂⁴	—	2	4	no	—
214	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	#41	—	4	32	no	—
216	#41	—	4	32	no	—
217	#41	—	4	32	no	—
218	#41	—	4	64	no	—
219	#41	—	4	128	no	—
220	#41	—	4	32	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	128	no	—
230	C₂×D₄	—	2	16	no	—
231	C₂×D₄	—	2	8	no	—
232	C₂×D₄	—	2	8	no	—
233	C₂×D₄	—	2	16	no	—
234	C₂×D₄	—	2	4	no	—
235	C₂×D₄	—	2	8	no	—
236	C₂×D₄	—	2	8	no	—
237	C₂×D₄	—	4	8	no	—
238	C₂×D₄	—	4	16	no	—
239	C₂×D₄	—	4	8	no	—
240	C₂×D₄	—	4	16	no	—
241	C₂×D₄	—	4	4	no	—
242	C₂×D₄	—	4	4	no	—
243	C₂×D₄	—	8	8	no	—
244	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
245	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₈	—	4	8	no	—
285	C₂×C₈	—	4	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
295	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
299	C₄²	—	2	8	no	—
300	C₄²	—	2	8	no	—
301	C₄²	—	4	8	no	—
302	C₄²	—	8	2	no	—
303	C₄²	—	8	2	no	—
304	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
305	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
306	C₄²	#120	1	4	yes	—
307	C₄²	#120	1	4	yes	—
308	C₂³	—	2	1	no	—
309	C₂³	—	2	1	no	—
310	C₂³	—	2	2	no	—
311	C₂³	—	2	8	no	—
312	C₂³	—	4	8	no	—
313	C₂³	—	4	4	no	—
314	C₂³	—	4	4	no	—
315	C₂³	—	4	8	no	—
316	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
318	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
319	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
320	Q₈	—	2	32	no	—
321	Q₈	—	4	16	no	—
322	Q₈	—	4	32	no	—
323	D₄	—	4	8	no	—
324	D₄	—	4	16	no	—
325	D₄	—	4	32	no	—
326	D₄	—	4	16	no	—
327	D₄	—	4	16	no	—
328	D₄	—	4	16	no	—
329	D₄	—	8	4	no	—
330	D₄	—	8	16	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	8	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	8	no	—
337	C₂×C₄	—	2	1	no	—
338	C₂×C₄	—	2	1	no	—
339	C₂×C₄	—	2	4	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	8	no	—
345	C₂×C₄	—	4	1	no	—
346	C₂×C₄	—	4	1	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	32	no	—
349	C₂×C₄	—	4	64	no	—
350	C₂×C₄	—	4	8	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	8	no	—
355	C₂×C₄	—	4	8	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	8	2	no	—
358	C₂×C₄	—	8	4	no	—
359	C₂×C₄	—	8	2	no	—
360	C₂×C₄	—	8	4	no	—
361	C₂×C₄	—	8	2	no	—
362	C₂×C₄	—	8	2	no	—
363	C₂×C₄	—	8	2	no	—
364	C₂×C₄	#379	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#379	1	4	yes	—
366	C₂×C₄	#379	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#418	1	8	yes	—
368	C₂×C₄	#454	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#456	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
372	C₈	—	8	4	no	—
373	C₂²	—	2	4	no	—
374	C₂²	—	2	4	no	—
375	C₂²	—	2	1	no	—
376	C₂²	—	2	1	no	—
377	C₂²	—	2	1	no	—
378	C₂²	—	2	1	no	—
379	C₂²	—	4	8	no	—
380	C₂²	—	4	8	no	—
381	C₂²	—	4	8	no	—
382	C₂²	—	8	8	no	—
383	C₂²	—	8	8	no	—
384	C₂²	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	C₂×#418	1	2	yes	—
386	C₂²	#3003	1	2	yes	—
387	C₂²	#3003	1	2	yes	—
388	C₂²	C₂×#454	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	C₂×#456	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	#3025	1	2	yes	—
391	C₄	—	2	4	no	—
392	C₄	—	2	8	no	—
393	C₄	—	2	2	no	—
394	C₄	—	2	2	no	—
395	C₄	—	2	2	no	—
396	C₄	—	4	8	no	—
397	C₄	—	4	4	no	—
398	C₄	—	8	4	no	—
399	C₄	—	8	4	no	—
400	C₄	#1793	1	4	yes	—
401	C₂	—	2	2	no	—
402	C₂	—	2	2	no	—
403	C₂	—	8	8	no	—
404	C₂	#18186	1	2	yes	—
405	C₂	#18187	1	2	yes	—
406	C₂	#20598	1	1	yes	characteristic
407	C₂	#20608	1	1	yes	characteristic
408	C₂	C₂×#1793	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#3497	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21395	C₂	semidirect
3. C₂×#1505	C₂	semidirect
4. C₂×#1467	C₂	semidirect
5. #13850	C₂	semidirect
6. #8404	C₂	semidirect
10. #3497	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3497	2
#21395	2
C₂×#1505	2
C₂×#1467	2
#13850	2
#8404	2