Subgroups — #186799

Order 512.

2284 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 389 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3550	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21894	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#21195	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1560	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1493	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8451	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#8445	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#3550	—	2	8	no	—
9	#3550	—	2	4	no	—
10	#3550	C₄	1	8	yes	complemented
11	C₂×#563	—	2	2	no	—
12	C₂×#559	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×Q₈²	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#556	—	2	2	no	—
15	C₂×D₄×Q₈	—	2	2	no	—
16	C₂×#542	—	2	4	no	—
17	C₂×#536	—	2	2	no	—
18	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#416	—	2	2	no	—
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1988	—	2	2	no	—
25	#1981	—	2	2	no	—
26	#1958	—	2	2	no	—
27	#1957	C₂²	1	2	yes	—
28	#1956	C₂²	1	2	yes	—
29	#1894	—	2	4	no	—
30	#1803	C₂²	1	8	yes	—
31	#1560	—	2	4	no	—
32	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
34	#1493	—	2	8	no	—
35	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
36	C₂²×#41	D₄	1	2	yes	—
37	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
39	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
40	#563	—	2	16	no	—
41	#563	—	2	16	no	—
42	#559	—	2	4	no	—
43	#559	—	2	8	no	—
44	#559	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	Q₈²	—	2	4	no	—
46	Q₈²	—	2	8	no	—
47	Q₈²	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	#556	—	2	16	no	—
49	#556	—	2	16	no	—
50	D₄×Q₈	—	2	16	no	—
51	D₄×Q₈	—	2	16	no	—
52	#542	—	2	32	no	—
53	#542	—	2	32	no	—
54	#536	—	2	16	no	—
55	#536	—	2	16	no	—
56	#533	—	2	4	no	—
57	#533	—	2	4	no	—
58	#533	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	#533	D₄	1	8	yes	—
60	#532	—	2	4	no	—
61	#532	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	#532	D₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×#126	—	2	8	no	—
70	C₂×#125	—	2	2	no	—
71	C₂×#124	—	2	4	no	—
72	C₂×#124	—	2	4	no	—
73	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
74	C₂×#123	—	2	4	no	—
75	C₂×#123	—	2	4	no	—
76	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
77	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
78	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₂²⋊Q₈	D₄	1	4	yes	—
80	C₂×#121	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
85	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
86	C₂×#117	—	2	2	no	—
87	C₂×#117	—	2	2	no	—
88	C₂×#117	—	2	1	no	—
89	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#423	—	2	4	no	—
91	#423	—	2	4	no	—
92	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
94	#416	—	4	8	no	—
95	C₂×#103	—	2	4	no	—
96	C₂×#103	—	2	8	no	—
97	C₂×#102	—	2	4	no	—
98	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
99	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
101	#384	C₂³	1	2	yes	—
102	#382	—	2	1	no	—
103	#380	—	2	2	no	—
104	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
105	#340	—	2	8	no	—
106	#333	—	2	4	no	—
107	#331	—	2	4	no	—
108	Q₈⋊C₈	—	2	16	no	—
109	C₂×#41	—	2	4	no	—
110	C₂×#41	—	4	4	no	—
111	C₂×#41	—	4	4	no	—
112	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
113	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×Q₈	—	8	4	no	—
117	C₂²×Q₈	—	8	4	no	—
118	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
119	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
132	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
142	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
143	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	#127	—	2	2	no	—
146	#127	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	#127	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	#126	—	2	64	no	—
149	#125	—	2	8	no	—
150	#125	—	2	8	no	—
151	#124	—	2	32	no	—
152	#124	—	2	16	no	—
153	#124	—	2	16	no	—
154	#124	—	2	4	no	—
155	#124	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
156	#123	—	2	32	no	—
157	#123	—	2	16	no	—
158	#123	—	2	16	no	—
159	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
160	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
161	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
162	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
163	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
164	C₂²⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
165	#121	—	2	8	no	—
166	#121	—	2	8	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
168	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
169	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
170	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
171	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
172	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
173	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
174	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
175	C₄×D₄	—	2	16	no	—
176	C₄×D₄	—	2	16	no	—
177	C₄×D₄	—	2	8	no	—
178	C₄×D₄	—	2	8	no	—
179	#117	—	2	16	no	—
180	#117	—	2	8	no	—
181	#117	—	2	8	no	—
182	#117	—	4	4	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
201	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
207	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
208	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
209	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
210	#103	—	4	8	no	—
211	#103	—	8	8	no	—
212	#102	—	4	8	no	—
213	C₄×C₈	—	2	4	no	—
214	C₄×C₈	—	4	2	no	—
215	#95	—	4	2	no	—
216	C₂⁴	—	2	2	no	—
217	C₂⁴	#120	1	1	yes	characteristic
218	#41	—	4	16	no	—
219	#41	—	8	8	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
230	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	8	32	no	—
233	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
234	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
235	C₂×D₄	—	2	8	no	—
236	C₂×D₄	—	2	4	no	—
237	C₂×D₄	—	2	4	no	—
238	C₂×D₄	—	2	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	—	4	4	no	—
242	C₂×D₄	—	4	4	no	—
243	C₂×D₄	—	8	2	no	—
244	C₂×D₄	—	8	2	no	—
245	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
260	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
263	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
268	M₁₆	—	8	8	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	4	2	no	—
271	C₂×C₈	—	4	8	no	—
272	C₂×C₈	—	4	2	no	—
273	C₂×C₈	—	4	4	no	—
274	C₂×C₈	—	4	8	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
288	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
294	C₄²	—	2	16	no	—
295	C₄²	—	2	8	no	—
296	C₄²	—	2	8	no	—
297	C₄²	—	8	2	no	—
298	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
299	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
300	C₄²	#120	1	2	yes	—
301	C₄²	#120	1	4	yes	—
302	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
303	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
304	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
305	C₂³	—	2	4	no	—
306	C₂³	—	2	1	no	—
307	C₂³	—	2	1	no	—
308	C₂³	—	2	4	no	—
309	C₂³	—	4	8	no	—
310	C₂³	—	4	2	no	—
311	C₂³	—	4	2	no	—
312	C₂³	#379	1	2	yes	—
313	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
314	Q₈	—	2	16	no	—
315	Q₈	—	4	4	no	—
316	Q₈	—	4	16	no	—
317	Q₈	—	4	4	no	—
318	Q₈	—	4	4	no	—
319	Q₈	—	8	2	no	—
320	Q₈	—	8	16	no	—
321	D₄	—	4	4	no	—
322	D₄	—	4	8	no	—
323	D₄	—	4	4	no	—
324	D₄	—	4	4	no	—
325	D₄	—	8	2	no	—
326	D₄	—	8	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	1	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	8	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	8	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	8	no	—
338	C₂×C₄	—	4	8	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	16	no	—
344	C₂×C₄	—	8	16	no	—
345	C₂×C₄	—	8	4	no	—
346	C₂×C₄	—	8	2	no	—
347	C₂×C₄	#379	1	4	yes	—
348	C₂×C₄	#379	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#453	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#455	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
356	C₂×C₄	#578	1	4	yes	—
357	C₈	—	4	4	no	—
358	C₈	—	8	4	no	—
359	C₂²	—	2	4	no	—
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	4	2	no	—
362	C₂²	—	4	2	no	—
363	C₂²	—	4	8	no	—
364	C₂²	—	4	4	no	—
365	C₂²	—	8	4	no	—
366	C₂²	—	8	4	no	—
367	C₂²	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#3013	1	4	yes	—
369	C₂²	C₂×#453	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	C₂×#455	1	1	yes	characteristic
371	C₄	—	2	4	no	—
372	C₄	—	2	1	no	—
373	C₄	—	2	1	no	—
374	C₄	—	4	8	no	—
375	C₄	—	4	4	no	—
376	C₄	—	4	8	no	—
377	C₄	—	16	2	no	—
378	C₄	#1792	1	4	yes	—
379	C₄	#2898	1	4	yes	—
380	C₄	#3010	1	2	yes	—
381	C₄	#3011	1	2	yes	—
382	C₂	—	4	2	no	—
383	C₂	—	8	4	no	—
384	C₂	#18688	1	2	yes	—
385	C₂	#18693	1	2	yes	—
386	C₂	#20603	1	2	yes	—
387	C₂	C₂×#1792	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21894	C₂	semidirect
5. C₂×#1493	C₂	semidirect
6. #8451	C₂	semidirect
7. #8445	C₂	semidirect
10. #3550	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3550	2
#21894	2
#21195	2
C₂×#1560	2
C₂×#1493	2
#8451	2
#8445	2