Subgroups — #188498

Order 512.

1166 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 403 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20808	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1518	C₂	1	2	yes	maximal
4	#14687	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#8578	C₂	1	8	yes	maximal
6	#8026	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
9	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	complemented
10	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	complemented
11	C₄×#125	—	2	2	no	—
12	C₄×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
13	C₄×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
14	#2296	—	2	1	no	—
15	#2295	—	2	1	no	—
16	#2295	C₄	1	2	yes	complemented
17	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#384	—	2	1	no	—
19	C₂×#382	—	2	1	no	—
20	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄²×Q₈	—	2	1	no	—
22	C₄²×Q₈	C₄	1	2	yes	complemented
23	C₄×#117	—	2	1	no	—
24	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1842	—	2	1	no	—
26	#1831	—	2	1	no	—
27	#1797	C₂²	1	4	yes	—
28	C₄×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
29	#1518	—	2	8	no	—
30	C₂×#328	C₂²	1	8	yes	—
31	C₄⋊#95	—	2	2	no	—
32	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
33	#1294	C₂²	1	8	yes	—
34	#533	—	2	2	no	—
35	#533	—	2	2	no	—
36	#533	D₄	1	4	yes	—
37	#533	Q₈	1	4	yes	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#125	—	2	1	no	—
41	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
42	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
45	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×#117	—	2	1	no	—
48	C₂×#117	—	2	1	no	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#431	—	2	4	no	—
57	#431	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
62	#391	—	2	2	no	—
63	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	#389	—	2	2	no	—
65	#389	—	2	2	no	—
66	#389	—	2	2	no	—
67	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	#387	—	2	4	no	—
69	#387	—	2	4	no	—
70	#385	—	2	4	no	—
71	#384	—	4	4	no	—
72	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#382	—	2	1	no	—
74	#382	—	2	4	no	—
75	#382	—	2	4	no	—
76	#382	—	4	4	no	—
77	#380	—	2	1	no	—
78	#380	C₂³	1	2	yes	—
79	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
80	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
82	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
83	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
88	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
90	#376	—	2	2	no	—
91	C₂×#95	—	2	2	no	—
92	C₂×#95	—	2	4	no	—
93	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
94	C₄³	—	2	2	no	—
95	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₄³	D₄	1	2	yes	—
99	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
101	#336	—	2	4	no	—
102	#328	—	2	16	no	—
103	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
104	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
106	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
112	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
113	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
114	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	complemented
115	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	complemented
116	#125	—	2	4	no	—
117	#125	—	2	4	no	—
118	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
119	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
120	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
121	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
122	C₂²⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
123	C₂²⋊Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
124	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
125	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
126	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
127	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
128	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
129	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	complemented
130	#117	—	2	4	no	—
131	#117	—	2	4	no	—
132	#117	—	4	2	no	—
133	#117	—	4	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
160	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
161	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	SD₁₆	1	4	yes	—
172	C₂×C₄²	Q₁₆	1	4	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
185	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
186	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
189	C₄×C₈	—	4	4	no	—
190	#95	—	2	4	no	—
191	#95	—	2	4	no	—
192	#95	—	2	4	no	—
193	#95	—	2	2	no	—
194	#95	—	2	4	no	—
195	#95	—	2	2	no	—
196	#95	—	2	4	no	—
197	#95	—	2	4	no	—
198	#95	—	4	4	no	—
199	#95	—	4	8	no	—
200	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
205	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₈	—	4	8	no	—
247	C₂×C₈	—	4	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
261	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
262	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
263	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
267	C₄²	—	2	8	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	2	2	no	—
271	C₄²	—	2	2	no	—
272	C₄²	—	2	4	no	—
273	C₄²	—	2	4	no	—
274	C₄²	—	2	4	no	—
275	C₄²	—	4	2	no	—
276	C₄²	—	4	2	no	—
277	C₄²	—	4	2	no	—
278	C₄²	—	4	2	no	—
279	C₄²	—	4	8	no	—
280	C₄²	—	4	8	no	—
281	C₄²	—	4	4	no	—
282	C₄²	#103	1	4	yes	—
283	C₄²	#103	1	4	yes	—
284	C₄²	#103	1	8	yes	—
285	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
286	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
287	C₄²	#117	1	2	yes	—
288	C₄²	#117	1	2	yes	—
289	C₄²	#121	1	2	yes	—
290	C₄²	#121	1	2	yes	—
291	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
292	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	2	2	no	—
295	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
297	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
298	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
301	C₂³	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
302	Q₈	—	4	4	no	—
303	Q₈	—	4	4	no	—
304	Q₈	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	8	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	1	no	—
326	C₂×C₄	—	4	1	no	—
327	C₂×C₄	—	4	1	no	—
328	C₂×C₄	—	4	1	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	8	8	no	—
335	C₂×C₄	—	8	4	no	—
336	C₂×C₄	—	8	8	no	—
337	C₂×C₄	—	8	4	no	—
338	C₂×C₄	—	8	4	no	—
339	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#410	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×#103	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×#103	1	4	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×#103	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×#103	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#417	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#417	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
351	C₂×C₄	#460	1	4	yes	—
352	C₂×C₄	#462	1	4	yes	—
353	C₂×C₄	#475	1	4	yes	—
354	C₂×C₄	#477	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
359	C₈	—	8	4	no	—
360	C₂²	—	2	1	no	—
361	C₂²	—	2	1	no	—
362	C₂²	—	2	2	no	—
363	C₂²	—	2	2	no	—
364	C₂²	—	2	1	no	—
365	C₂²	—	2	1	no	—
366	C₂²	—	2	2	no	—
367	C₂²	—	2	2	no	—
368	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	C₂×#410	1	2	yes	—
370	C₂²	C₂²×#103	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	C₂×#417	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
373	C₂²	C₂×#460	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	C₂×#462	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	C₂×#475	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	C₂×#477	1	1	yes	characteristic
377	C₄	—	2	1	no	—
378	C₄	—	2	1	no	—
379	C₄	—	2	1	no	—
380	C₄	—	2	1	no	—
381	C₄	—	2	4	no	—
382	C₄	—	2	4	no	—
383	C₄	—	2	2	no	—
384	C₄	—	2	2	no	—
385	C₄	—	2	4	no	—
386	C₄	—	2	4	no	—
387	C₄	—	4	4	no	—
388	C₄	—	4	4	no	—
389	C₄	—	8	4	no	—
390	C₄	—	16	4	no	—
391	C₄	#1803	1	4	yes	—
392	C₄	#1803	1	4	yes	—
393	C₂	—	2	1	no	—
394	C₂	—	2	1	no	—
395	C₂	—	2	1	no	—
396	C₂	—	2	1	no	—
397	C₂	#17575	1	2	yes	—
398	C₂	#17588	1	2	yes	—
399	C₂	#20632	1	1	yes	characteristic
400	C₂	C₂×#1803	1	1	yes	characteristic
401	C₂	#20654	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
9. C₄×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
10. C₄×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
16. #2295	C₄	semidirect
22. C₄²×Q₈	C₄	semidirect
114. C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	semidirect
115. C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	semidirect
129. C₄×Q₈	C₄⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#533	2
#20808	2
C₂×#1518	2
#14687	2
#8578	2
#8026	2