Subgroups — #188572

Order 512.

1310 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 378 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20810	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1533	C₂	1	2	yes	maximal
4	#8581	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#8030	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂²×C₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#432	C₂²	1	4	yes	—
10	C₄×#124	—	2	2	no	—
11	C₄×#124	—	2	2	no	—
12	C₄×#124	C₄	1	4	yes	—
13	C₄×#124	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#391	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#390	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#388	—	2	2	no	—
17	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
19	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1842	—	2	2	no	—
21	#1831	—	2	2	no	—
22	#1797	—	2	2	no	—
23	#1797	—	2	2	no	—
24	#1767	C₂²	1	4	yes	complemented
25	#1767	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#1533	—	2	8	no	—
27	C₂×#329	C₂²	1	8	yes	—
28	#1295	C₂²	1	8	yes	complemented
29	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
32	C₂×#124	—	2	2	no	—
33	C₂×#124	—	2	4	no	—
34	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂×#124	D₄	1	4	yes	—
36	C₂×#124	Q₈	1	4	yes	—
37	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄×Q₈	—	4	4	no	—
40	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄×D₄	—	4	4	no	—
43	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
48	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
49	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
51	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#432	—	2	8	no	—
57	#432	—	2	8	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
62	C₂×#97	C₂³	1	8	yes	—
63	#391	—	2	1	no	—
64	#391	—	2	1	no	—
65	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	#390	—	2	1	no	—
67	#390	—	2	1	no	—
68	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	#388	—	2	4	no	—
70	#388	—	2	4	no	—
71	#388	—	2	4	no	—
72	#388	—	2	4	no	—
73	#382	—	2	2	no	—
74	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#382	C₂³	1	2	yes	—
76	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
77	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
78	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₂×#95	—	2	2	no	—
81	C₂×#95	—	2	2	no	—
82	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₄³	D₄	1	2	yes	—
84	C₄³	D₄	1	2	yes	—
85	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
86	#336	—	2	4	no	—
87	#336	—	2	4	no	—
88	#329	—	2	16	no	—
89	C₂⁵	—	2	1	no	—
90	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
91	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
92	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
93	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
94	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
95	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
98	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
100	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
101	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
106	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
107	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
108	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
114	#124	—	2	4	no	—
115	#124	—	2	8	no	—
116	#124	—	2	8	no	—
117	#124	—	2	4	no	—
118	#124	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
119	#124	C₂×D₄	1	4	yes	—
120	#124	C₂×Q₈	1	4	yes	—
121	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
122	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
123	C₄×D₄	—	4	8	no	—
124	C₄×D₄	—	4	8	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
145	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
146	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
148	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
167	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
168	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
169	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
170	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
171	#97	—	2	8	no	—
172	#97	—	2	8	no	—
173	#95	—	2	4	no	—
174	#95	—	2	4	no	—
175	#95	—	2	4	no	—
176	#95	—	2	4	no	—
177	C₂⁴	—	2	2	no	—
178	C₂⁴	—	2	4	no	—
179	C₂⁴	—	4	4	no	—
180	C₂⁴	—	4	4	no	—
181	C₂⁴	—	4	2	no	—
182	C₂⁴	—	4	2	no	—
183	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
186	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
187	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
192	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	4	2	no	—
196	C₂×D₄	—	4	8	no	—
197	C₂×D₄	—	4	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	2	no	—
199	C₂×D₄	—	4	8	no	—
200	C₂×D₄	—	4	2	no	—
201	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
226	C₂²×C₄	#100	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
239	C₂×C₈	—	4	8	no	—
240	C₂×C₈	—	4	8	no	—
241	C₂×C₈	—	4	8	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
253	C₄²	—	2	4	no	—
254	C₄²	—	2	4	no	—
255	C₄²	—	2	4	no	—
256	C₄²	—	2	4	no	—
257	C₄²	—	2	4	no	—
258	C₄²	—	2	4	no	—
259	C₄²	—	4	1	no	—
260	C₄²	—	4	1	no	—
261	C₄²	—	4	2	no	—
262	C₄²	—	4	2	no	—
263	C₄²	—	4	2	no	—
264	C₄²	—	4	2	no	—
265	C₄²	—	4	2	no	—
266	C₄²	—	4	8	no	—
267	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
268	C₄²	#117	1	2	yes	—
269	C₄²	#121	1	4	yes	—
270	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
271	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
273	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	4	no	—
277	C₂³	—	4	16	no	—
278	C₂³	—	4	8	no	—
279	C₂³	—	4	2	no	—
280	C₂³	—	4	2	no	—
281	C₂³	—	4	4	no	—
282	C₂³	—	4	4	no	—
283	C₂³	—	8	4	no	—
284	C₂³	—	8	4	no	—
285	C₂³	—	8	8	no	—
286	C₂³	#380	1	2	yes	—
287	C₂³	C₂×#100	1	2	yes	—
288	C₂³	#413	1	2	yes	—
289	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
290	Q₈	—	4	4	no	—
291	Q₈	—	4	4	no	—
292	Q₈	—	4	8	no	—
293	D₄	—	4	4	no	—
294	D₄	—	4	4	no	—
295	D₄	—	4	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	8	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	4	8	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	8	16	no	—
329	C₂×C₄	—	8	4	no	—
330	C₂×C₄	—	8	4	no	—
331	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
340	C₈	—	8	8	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	4	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	4	4	no	—
346	C₂²	—	4	8	no	—
347	C₂²	—	8	16	no	—
348	C₂²	—	8	2	no	—
349	C₂²	—	8	2	no	—
350	C₂²	—	8	4	no	—
351	C₂²	#1800	1	4	yes	—
352	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
356	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
357	C₄	—	2	4	no	—
358	C₄	—	2	4	no	—
359	C₄	—	2	1	no	—
360	C₄	—	2	1	no	—
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	2	2	no	—
363	C₄	—	2	2	no	—
364	C₄	—	2	4	no	—
365	C₄	—	2	4	no	—
366	C₄	—	4	4	no	—
367	C₄	—	4	2	no	—
368	C₄	—	8	2	no	—
369	C₄	—	8	2	no	—
370	C₂	—	2	4	no	—
371	C₂	—	8	4	no	—
372	C₂	#17659	1	2	yes	—
373	C₂	#17666	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#17675	1	1	yes	characteristic
375	C₂	C₂×#1800	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#20654	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20810	C₂	semidirect
4. #8581	C₂	semidirect
5. #8030	C₂	semidirect
24. #1767	C₂²	semidirect
25. #1767	C₂²	semidirect
28. #1295	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#124	2
#20810	2
C₂×#1533	2
#8581	2
#8030	2