Subgroups — #188646

Order 512.

1406 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 432 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34210	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21972	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20755	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1545	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂²×#331	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#8592	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#8588	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#8045	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#8039	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#518	—	2	1	no	—
12	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2366	—	2	2	no	—
17	#2366	C₄	1	4	yes	—
18	D₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
19	D₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	4	yes	—
20	#2328	—	2	2	no	—
21	#2309	—	2	1	no	—
22	C₄×#127	C₂²	1	4	yes	—
23	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1939	—	2	2	no	—
26	#1850	—	2	2	no	—
27	#1842	C₂²	1	2	yes	complemented
28	#1832	—	2	2	no	—
29	#1831	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#1831	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#1729	—	2	1	no	—
32	#1729	—	2	1	no	—
33	#1545	—	2	4	no	—
34	C₂×#331	—	2	4	no	—
35	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
38	#1296	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#1296	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#1296	C₂²	1	4	yes	complemented
41	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
42	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
43	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
45	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
46	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
47	C₂×#127	—	2	1	no	—
48	C₂×#127	—	2	1	no	—
49	C₂×#127	—	2	2	no	—
50	C₂×#127	—	2	2	no	—
51	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×#127	D₄	1	4	yes	—
53	C₂×#127	Q₈	1	4	yes	—
54	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
55	#518	—	4	4	no	—
56	#518	—	4	4	no	—
57	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
61	C₂×#117	—	2	1	no	—
62	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#431	—	2	2	no	—
67	#431	—	2	2	no	—
68	#423	—	2	2	no	—
69	#423	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
85	#390	—	2	4	no	—
86	#390	—	2	4	no	—
87	#390	—	2	4	no	—
88	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
89	#386	—	2	8	no	—
90	#386	—	2	8	no	—
91	#384	C₂³	1	2	yes	—
92	#382	—	2	1	no	—
93	#380	—	2	1	no	—
94	#380	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	#379	—	2	4	no	—
96	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
97	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
99	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
100	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
101	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
102	#376	D₄	1	2	yes	—
103	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
104	#336	—	2	4	no	—
105	#336	—	2	4	no	—
106	#336	—	2	4	no	—
107	#331	—	2	8	no	—
108	#331	—	2	4	no	—
109	#331	—	2	4	no	—
110	C₂⁵	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
127	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
128	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
129	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
131	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
142	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
147	#127	—	2	4	no	—
148	#127	—	2	4	no	—
149	#127	—	2	4	no	—
150	#127	—	2	4	no	—
151	#127	—	2	4	no	—
152	#127	—	2	2	no	—
153	#127	—	2	2	no	—
154	#127	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
155	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	#127	C₂×Q₈	1	4	yes	—
157	C₄×D₄	—	4	8	no	—
158	C₄×D₄	—	4	8	no	—
159	C₄×D₄	—	4	16	no	—
160	C₄×D₄	—	8	4	no	—
161	C₄×D₄	—	8	4	no	—
162	C₄×D₄	—	8	8	no	—
163	#117	—	2	2	no	—
164	#117	—	2	2	no	—
165	#117	—	2	2	no	—
166	#117	—	2	2	no	—
167	#117	—	4	2	no	—
168	#117	—	4	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
194	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
195	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
196	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
201	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
202	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
203	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
204	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
205	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
206	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
207	C₄⋊C₈	—	8	4	no	—
208	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
209	C₄×C₈	—	4	2	no	—
210	#95	—	2	2	no	—
211	#95	—	2	2	no	—
212	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
213	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
214	C₂⁴	—	2	4	no	—
215	C₂⁴	—	2	8	no	—
216	C₂⁴	—	4	4	no	—
217	C₂⁴	—	4	4	no	—
218	C₂⁴	—	8	4	no	—
219	C₂⁴	—	8	4	no	—
220	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂×D₄	—	2	4	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	2	4	no	—
226	C₂×D₄	—	2	8	no	—
227	C₂×D₄	—	2	8	no	—
228	C₂×D₄	—	2	8	no	—
229	C₂×D₄	—	4	8	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	4	no	—
235	C₂×D₄	—	4	4	no	—
236	C₂×D₄	—	4	4	no	—
237	C₂×D₄	—	4	4	no	—
238	C₂×D₄	—	4	8	no	—
239	C₂×D₄	—	4	8	no	—
240	C₂×D₄	—	4	8	no	—
241	C₂×D₄	—	4	8	no	—
242	C₂×D₄	—	8	8	no	—
243	C₂×D₄	—	8	4	no	—
244	C₂×D₄	—	8	4	no	—
245	C₂×D₄	—	8	4	no	—
246	C₂×D₄	—	8	4	no	—
247	C₂×D₄	—	8	8	no	—
248	C₂×D₄	—	8	8	no	—
249	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
250	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
255	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
256	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
257	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
275	M₁₆	—	8	4	no	—
276	C₂×C₈	—	4	1	no	—
277	C₂×C₈	—	4	1	no	—
278	C₂×C₈	—	4	2	no	—
279	C₂×C₈	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₂×C₈	—	4	4	no	—
287	C₂×C₈	—	4	2	no	—
288	C₂×C₈	—	8	4	no	—
289	C₂×C₈	—	8	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
303	C₄²	—	2	2	no	—
304	C₄²	—	2	2	no	—
305	C₄²	—	2	2	no	—
306	C₄²	—	2	2	no	—
307	C₄²	—	2	4	no	—
308	C₄²	—	2	4	no	—
309	C₄²	—	4	4	no	—
310	C₄²	—	4	4	no	—
311	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
312	C₄²	#117	1	2	yes	—
313	C₄²	#121	1	2	yes	—
314	C₄²	#121	1	2	yes	—
315	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
316	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
317	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
319	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
320	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
321	C₂³	—	2	2	no	—
322	C₂³	—	2	2	no	—
323	C₂³	—	2	8	no	—
324	C₂³	—	4	8	no	—
325	C₂³	—	4	4	no	—
326	C₂³	—	4	4	no	—
327	C₂³	—	4	8	no	—
328	C₂³	—	4	16	no	—
329	C₂³	—	8	8	no	—
330	C₂³	—	8	8	no	—
331	C₂³	—	16	8	no	—
332	C₂³	—	16	8	no	—
333	C₂³	#380	1	2	yes	—
334	C₂³	#416	1	2	yes	—
335	C₂³	#418	1	2	yes	—
336	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
337	D₄	—	4	8	no	—
338	D₄	—	4	8	no	—
339	D₄	—	4	4	no	—
340	D₄	—	4	4	no	—
341	D₄	—	4	8	no	—
342	D₄	—	4	16	no	—
343	D₄	—	4	4	no	—
344	D₄	—	4	4	no	—
345	D₄	—	4	4	no	—
346	D₄	—	4	4	no	—
347	D₄	—	8	8	no	—
348	D₄	—	8	8	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	2	4	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	2	4	no	—
359	C₂×C₄	—	2	4	no	—
360	C₂×C₄	—	2	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	2	no	—
362	C₂×C₄	—	4	2	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	16	16	no	—
367	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#416	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#418	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#463	1	4	yes	—
373	C₂×C₄	#463	1	4	yes	—
374	C₂×C₄	#478	1	4	yes	—
375	C₂×C₄	#478	1	4	yes	—
376	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
388	C₈	—	8	2	no	—
389	C₈	—	8	2	no	—
390	C₈	—	8	1	no	—
391	C₈	—	8	2	no	—
392	C₈	—	8	1	no	—
393	C₂²	—	2	4	no	—
394	C₂²	—	2	4	no	—
395	C₂²	—	2	2	no	—
396	C₂²	—	2	2	no	—
397	C₂²	—	4	8	no	—
398	C₂²	—	4	8	no	—
399	C₂²	—	4	8	no	—
400	C₂²	—	8	8	no	—
401	C₂²	—	8	8	no	—
402	C₂²	—	16	16	no	—
403	C₂²	#1804	1	4	yes	—
404	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
405	C₂²	#2888	1	2	yes	—
406	C₂²	C₂×#416	1	1	yes	characteristic
407	C₂²	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
408	C₂²	#2897	1	2	yes	—
409	C₄	—	2	1	no	—
410	C₄	—	2	1	no	—
411	C₄	—	2	2	no	—
412	C₄	—	2	2	no	—
413	C₄	—	4	4	no	—
414	C₄	—	4	4	no	—
415	C₄	—	8	4	no	—
416	C₄	#1804	1	4	yes	—
417	C₄	C₂×#463	1	1	yes	characteristic
418	C₄	C₂×#463	1	1	yes	characteristic
419	C₄	#3041	1	1	yes	characteristic
420	C₄	#3042	1	1	yes	characteristic
421	C₄	C₂×#478	1	1	yes	characteristic
422	C₄	C₂×#478	1	1	yes	characteristic
423	C₄	#3081	1	2	yes	—
424	C₂	—	2	4	no	—
425	C₂	—	8	8	no	—
426	C₂	#17724	1	2	yes	—
427	C₂	#17758	1	2	yes	—
428	C₂	#20638	1	1	yes	characteristic
429	C₂	C₂×#1804	1	1	yes	characteristic
430	C₂	#20650	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21972	C₂	semidirect
3. #20755	C₂	semidirect
6. #8592	C₂	semidirect
7. #8588	C₂	semidirect
8. #8045	C₂	semidirect
9. #8039	C₂	semidirect
27. #1842	C₂²	semidirect
29. #1831	C₂²	semidirect
30. #1831	C₂²	semidirect
38. #1296	C₂²	semidirect
39. #1296	C₂²	semidirect
40. #1296	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34210	2
#21972	2
#20755	2
C₂×#1545	2
C₂²×#331	2
#8592	2
#8588	2
#8045	2
#8039	2