Subgroups — #188697

Order 512.

1388 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34210	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21974	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1545	C₂	1	2	yes	maximal
4	#8592	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8588	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8585	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8041	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#8038	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#518	C₄	1	2	yes	—
11	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
13	#2366	—	2	2	no	—
14	#2366	—	2	2	no	—
15	D₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
16	#2328	C₄	1	4	yes	—
17	#2309	C₄	1	2	yes	—
18	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
20	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1939	—	2	2	no	—
23	#1939	—	2	2	no	—
24	#1851	—	2	4	no	—
25	#1842	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#1831	C₂²	1	4	yes	complemented
27	#1545	—	2	8	no	—
28	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
30	#1296	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	#1296	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#1296	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	#1296	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#1296	C₂²	1	2	yes	complemented
35	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
36	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
38	C₂×#127	—	2	2	no	—
39	C₂×#127	—	2	4	no	—
40	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×#127	D₄	1	4	yes	—
42	C₂×#127	Q₈	1	4	yes	—
43	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
44	#518	—	4	8	no	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#431	—	2	4	no	—
57	#431	—	2	4	no	—
58	#423	—	2	4	no	—
59	#423	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
68	#390	—	2	4	no	—
69	#390	—	2	4	no	—
70	#390	—	2	4	no	—
71	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	#386	—	2	8	no	—
74	#386	—	2	8	no	—
75	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	#380	—	2	2	no	—
79	#379	—	2	4	no	—
80	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
82	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
84	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
86	#336	—	2	4	no	—
87	#336	—	2	4	no	—
88	#331	—	2	8	no	—
89	#331	—	2	8	no	—
90	C₂⁵	—	2	2	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
97	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
98	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
99	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
100	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
101	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
103	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
104	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
105	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
107	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
110	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	#127	—	2	4	no	—
116	#127	—	2	8	no	—
117	#127	—	2	8	no	—
118	#127	—	2	4	no	—
119	#127	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
120	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
121	#127	C₂×Q₈	1	4	yes	—
122	C₄×D₄	—	4	8	no	—
123	C₄×D₄	—	4	8	no	—
124	C₄×D₄	—	4	8	no	—
125	C₄×D₄	—	4	8	no	—
126	C₄×D₄	—	8	4	no	—
127	C₄×D₄	—	8	4	no	—
128	C₄×D₄	—	8	4	no	—
129	C₄×D₄	—	8	4	no	—
130	#117	—	2	4	no	—
131	#117	—	4	2	no	—
132	#117	—	4	4	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
160	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
161	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
164	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
165	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
166	C₄⋊C₈	—	8	4	no	—
167	C₄⋊C₈	—	8	4	no	—
168	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
169	C₄×C₈	—	4	4	no	—
170	#95	—	2	4	no	—
171	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
172	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
173	C₂⁴	—	2	4	no	—
174	C₂⁴	—	2	8	no	—
175	C₂⁴	—	4	4	no	—
176	C₂⁴	—	4	4	no	—
177	C₂⁴	—	8	4	no	—
178	C₂⁴	—	8	4	no	—
179	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×D₄	—	2	4	no	—
181	C₂×D₄	—	2	8	no	—
182	C₂×D₄	—	2	8	no	—
183	C₂×D₄	—	2	8	no	—
184	C₂×D₄	—	2	16	no	—
185	C₂×D₄	—	4	4	no	—
186	C₂×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	16	no	—
188	C₂×D₄	—	4	16	no	—
189	C₂×D₄	—	4	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	4	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	—	4	4	no	—
194	C₂×D₄	—	4	4	no	—
195	C₂×D₄	—	8	8	no	—
196	C₂×D₄	—	8	8	no	—
197	C₂×D₄	—	8	8	no	—
198	C₂×D₄	—	8	8	no	—
199	C₂×D₄	—	8	4	no	—
200	C₂×D₄	—	8	4	no	—
201	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
225	M₁₆	—	8	8	no	—
226	C₂×C₈	—	4	2	no	—
227	C₂×C₈	—	4	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	4	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	4	no	—
232	C₂×C₈	—	4	4	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	—	4	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
243	C₄⋊C₄	#100	1	4	yes	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
251	C₄²	—	2	4	no	—
252	C₄²	—	2	4	no	—
253	C₄²	—	2	4	no	—
254	C₄²	—	2	4	no	—
255	C₄²	—	2	4	no	—
256	C₄²	—	4	2	no	—
257	C₄²	—	4	4	no	—
258	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
259	C₄²	#117	1	2	yes	—
260	C₄²	#121	1	4	yes	—
261	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
262	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
264	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
265	C₂³	—	2	1	no	—
266	C₂³	—	2	1	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	8	no	—
270	C₂³	—	4	16	no	—
271	C₂³	—	4	4	no	—
272	C₂³	—	4	4	no	—
273	C₂³	—	4	8	no	—
274	C₂³	—	4	8	no	—
275	C₂³	—	8	16	no	—
276	C₂³	—	16	4	no	—
277	C₂³	—	16	8	no	—
278	C₂³	—	16	4	no	—
279	C₂³	#380	1	2	yes	—
280	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
281	D₄	—	4	8	no	—
282	D₄	—	4	8	no	—
283	D₄	—	4	16	no	—
284	D₄	—	4	8	no	—
285	D₄	—	4	8	no	—
286	D₄	—	4	8	no	—
287	D₄	—	4	8	no	—
288	D₄	—	8	16	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	16	8	no	—
310	C₂×C₄	—	16	8	no	—
311	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#413	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
324	C₈	—	8	2	no	—
325	C₈	—	8	4	no	—
326	C₈	—	8	2	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	4	1	no	—
330	C₂²	—	4	2	no	—
331	C₂²	—	4	1	no	—
332	C₂²	—	4	8	no	—
333	C₂²	—	4	16	no	—
334	C₂²	—	8	4	no	—
335	C₂²	—	8	8	no	—
336	C₂²	—	8	4	no	—
337	C₂²	—	16	16	no	—
338	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#2897	1	2	yes	—
342	C₂²	#2897	1	2	yes	—
343	C₄	—	2	4	no	—
344	C₄	—	2	1	no	—
345	C₄	—	2	1	no	—
346	C₄	—	2	4	no	—
347	C₄	—	4	4	no	—
348	C₄	—	4	2	no	—
349	C₄	—	8	2	no	—
350	C₄	—	8	2	no	—
351	C₄	#1800	1	4	yes	—
352	C₄	#3041	1	2	yes	—
353	C₄	#3042	1	2	yes	—
354	C₄	#3081	1	2	yes	—
355	C₄	#3081	1	2	yes	—
356	C₂	—	4	2	no	—
357	C₂	—	8	8	no	—
358	C₂	#17770	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#17776	1	2	yes	—
360	C₂	#17782	1	1	yes	characteristic
361	C₂	C₂×#1800	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#20650	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21974	C₂	semidirect
4. #8592	C₂	semidirect
5. #8588	C₂	semidirect
6. #8585	C₂	semidirect
7. #8041	C₂	semidirect
8. #8038	C₂	semidirect
25. #1842	C₂²	semidirect
26. #1831	C₂²	semidirect
30. #1296	C₂²	semidirect
31. #1296	C₂²	semidirect
32. #1296	C₂²	semidirect
33. #1296	C₂²	semidirect
34. #1296	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34210	2
#21974	2
C₂×#1545	2
#8592	2
#8588	2
#8585	2
#8041	2
#8038	2