Subgroups — #188749

Order 512.

1046 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 396 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21849	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1574	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#8600	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#8596	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8595	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#7874	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#7872	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₈×#41	—	2	8	no	—
11	C₂×C₈×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₈×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₈×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₈×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₈×D₄	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×C₈×D₄	C₄	1	2	yes	—
17	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1984	—	2	2	no	—
24	#1954	—	2	2	no	—
25	#1870	—	2	4	no	—
26	#1797	C₂²	1	4	yes	—
27	#1797	C₂²	1	4	yes	—
28	#1574	—	2	8	no	—
29	C₂×#335	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#334	C₂²	1	4	yes	—
31	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1277	C₂²	1	2	yes	—
33	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1277	C₂²	1	2	yes	—
35	#1277	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×#41	Q₈	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
38	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₄×#41	—	2	4	no	—
43	C₄×#41	—	2	4	no	—
44	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#117	Q₈	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#117	Q₈	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
55	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
56	C₈×D₄	—	2	4	no	—
57	C₈×D₄	—	2	4	no	—
58	C₈×D₄	—	2	8	no	—
59	C₈×D₄	—	2	8	no	—
60	#431	—	2	8	no	—
61	#431	—	2	4	no	—
62	#431	—	2	4	no	—
63	#431	D₄	1	8	yes	—
64	#423	—	2	4	no	—
65	#423	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
82	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
90	#336	—	2	4	no	—
91	#336	—	2	4	no	—
92	#335	—	2	8	no	—
93	#334	—	2	8	no	—
94	C₂×#41	—	2	4	no	—
95	C₂×#41	—	2	4	no	—
96	C₂×#41	—	2	4	no	—
97	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
99	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
106	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
107	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
123	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
124	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
131	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
132	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
133	C₄×D₄	—	2	4	no	—
134	C₄×D₄	—	2	4	no	—
135	C₄×D₄	—	2	8	no	—
136	C₄×D₄	—	2	2	no	—
137	C₄×D₄	—	2	2	no	—
138	C₄×D₄	—	2	4	no	—
139	#117	—	2	4	no	—
140	#117	—	2	8	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
160	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
161	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
164	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
165	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
167	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
168	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
169	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
170	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
171	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
172	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
173	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
175	C₂²⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
176	C₄×C₈	—	2	4	no	—
177	C₄×C₈	—	2	4	no	—
178	C₄×C₈	—	2	2	no	—
179	C₄×C₈	—	2	2	no	—
180	C₄×C₈	—	2	2	no	—
181	C₄×C₈	—	2	2	no	—
182	C₄×C₈	—	4	4	no	—
183	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
184	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
186	#41	—	2	32	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
189	C₂×Q₈	#108	1	4	yes	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	2	4	no	—
192	C₂×D₄	—	2	2	no	—
193	C₂×D₄	—	2	4	no	—
194	C₂×D₄	—	2	2	no	—
195	C₂×D₄	#108	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
231	M₁₆	—	8	8	no	—
232	C₂×C₈	—	2	1	no	—
233	C₂×C₈	—	2	1	no	—
234	C₂×C₈	—	2	2	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	1	no	—
237	C₂×C₈	—	2	1	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	1	no	—
241	C₂×C₈	—	2	1	no	—
242	C₂×C₈	—	2	1	no	—
243	C₂×C₈	—	2	1	no	—
244	C₂×C₈	—	2	1	no	—
245	C₂×C₈	—	2	1	no	—
246	C₂×C₈	—	4	8	no	—
247	C₂×C₈	—	4	8	no	—
248	C₂×C₈	—	4	4	no	—
249	C₂×C₈	—	4	4	no	—
250	C₂×C₈	—	4	2	no	—
251	C₂×C₈	—	4	2	no	—
252	C₂×C₈	—	4	4	no	—
253	C₂×C₈	—	4	2	no	—
254	C₂×C₈	—	4	4	no	—
255	C₂×C₈	—	4	2	no	—
256	C₂×C₈	—	4	4	no	—
257	C₂×C₈	—	4	2	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
260	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
261	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	2	2	no	—
271	C₄²	—	2	2	no	—
272	C₄²	—	2	4	no	—
273	C₄²	—	2	4	no	—
274	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
275	C₄²	#117	1	2	yes	—
276	C₄²	#121	1	4	yes	—
277	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
278	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
280	C₂³	—	2	1	no	—
281	C₂³	—	2	1	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	1	no	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	2	1	no	—
288	C₂³	—	2	1	no	—
289	C₂³	—	2	1	no	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	#380	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂×#108	1	4	yes	—
294	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
295	Q₈	—	2	8	no	—
296	D₄	—	2	16	no	—
297	D₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	16	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#108	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#108	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#108	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
343	C₈	—	2	2	no	—
344	C₈	—	2	2	no	—
345	C₈	—	2	4	no	—
346	C₈	—	2	4	no	—
347	C₈	—	4	1	no	—
348	C₈	—	4	1	no	—
349	C₈	—	8	2	no	—
350	C₈	—	8	4	no	—
351	C₈	—	8	2	no	—
352	C₂²	—	2	2	no	—
353	C₂²	—	2	4	no	—
354	C₂²	—	2	4	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	2	4	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	4	1	no	—
360	C₂²	—	4	1	no	—
361	C₂²	—	4	2	no	—
362	C₂²	—	4	1	no	—
363	C₂²	—	4	1	no	—
364	C₂²	—	4	2	no	—
365	C₂²	—	4	2	no	—
366	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#2906	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#2906	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#2912	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#2913	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	C₂²×#108	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	C₂²×#108	1	1	yes	characteristic
373	C₄	—	2	2	no	—
374	C₄	—	2	2	no	—
375	C₄	—	2	2	no	—
376	C₄	—	2	4	no	—
377	C₄	—	4	2	no	—
378	C₄	—	4	2	no	—
379	C₄	#1810	1	4	yes	—
380	C₄	#2880	1	1	yes	characteristic
381	C₄	#2880	1	1	yes	characteristic
382	C₄	#2922	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#2923	1	1	yes	characteristic
384	C₄	#3062	1	2	yes	—
385	C₄	#3063	1	2	yes	—
386	C₂	—	4	2	no	—
387	C₂	—	4	4	no	—
388	C₂	#17834	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#17835	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#17836	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#17837	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#20630	1	1	yes	characteristic
393	C₂	#20664	1	1	yes	characteristic
394	C₂	C₂×#1810	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	Q₈
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1574	C₂	semidirect
4. #8600	C₂	semidirect
5. #8596	C₂	semidirect
6. #8595	C₂	semidirect
7. #7874	C₂	semidirect
8. #7872	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×#41	2
#21849	2
C₂×#1574	2
#8600	2
#8596	2
#8595	2
#7874	2
#7872	2