Subgroups — #188819

Order 512.

1273 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 345 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2972	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21940	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1799	C₂	1	2	yes	maximal
4	#8609	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1289	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	#2972	—	2	8	no	—
8	C₂×C₈×D₄	C₄	1	4	yes	complemented
9	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×#431	C₄	1	2	yes	complemented
11	C₂²×#99	—	2	2	no	—
12	C₂²×C₂²⋊C₈	C₄	1	2	yes	complemented
13	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	—
16	#1852	—	2	8	no	—
17	#1808	C₂²	1	8	yes	complemented
18	#1799	—	2	4	no	—
19	#1799	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×#342	—	2	2	no	—
21	#1289	C₂²	1	8	yes	complemented
22	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
23	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
25	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
26	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
27	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
29	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
30	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	2	yes	—
33	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
35	C₂²×C₄⋊C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
37	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₂²⋊C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₈×D₄	—	2	16	no	—
41	C₈×D₄	—	2	16	no	—
42	#431	—	2	8	no	—
43	C₂×#107	—	2	8	no	—
44	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
45	C₂×#99	—	2	8	no	—
46	C₂×#99	—	4	8	no	—
47	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
48	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
49	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
53	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	8	yes	—
54	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
56	#380	—	2	4	no	—
57	#380	—	2	4	no	—
58	#380	—	2	4	no	—
59	#380	C₂³	1	8	yes	—
60	C₂×#95	—	2	4	no	—
61	#342	—	2	8	no	—
62	#340	—	2	8	no	—
63	C₂⁵	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
66	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
67	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
68	C₂²×D₄	D₈	1	4	yes	—
69	C₂²×D₄	Q₁₆	1	4	yes	—
70	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
71	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
72	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
73	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
74	C₂³×C₄	—	8	2	no	—
75	C₂³×C₄	—	8	2	no	—
76	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
80	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
84	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
90	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
91	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
92	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
93	C₂²×C₈	—	8	4	no	—
94	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
95	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
96	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
97	C₄×D₄	—	2	4	no	—
98	C₄×D₄	—	2	4	no	—
99	C₄×D₄	—	2	8	no	—
100	C₄×D₄	—	2	8	no	—
101	C₄×D₄	—	2	4	no	—
102	C₄×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
119	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
122	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	#107	—	8	8	no	—
124	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
125	#99	—	4	16	no	—
126	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
127	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
128	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
129	C₂²⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
130	C₂²⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
131	C₄×C₈	—	2	8	no	—
132	#95	—	2	8	no	—
133	#95	—	4	4	no	—
134	C₂⁴	—	2	2	no	—
135	C₂⁴	—	2	2	no	—
136	C₂⁴	—	8	1	no	—
137	C₂⁴	—	8	1	no	—
138	C₂⁴	—	8	1	no	—
139	C₂⁴	—	8	1	no	—
140	C₂⁴	#107	1	4	yes	complemented
141	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
142	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂⁴	#121	1	4	yes	—
145	C₂⁴	C₂×D₈	1	2	yes	—
146	C₂⁴	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
147	C₂⁴	#135	1	4	yes	—
148	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×D₄	—	2	4	no	—
150	C₂×D₄	—	2	4	no	—
151	C₂×D₄	—	2	4	no	—
152	C₂×D₄	—	2	4	no	—
153	C₂×D₄	—	2	16	no	—
154	C₂×D₄	—	2	16	no	—
155	C₂×D₄	#107	1	8	yes	complemented
156	C₂×D₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
157	C₂×D₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
158	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
171	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
173	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
174	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
175	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
179	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
180	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
181	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
182	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
183	C₂²×C₄	#107	1	4	yes	complemented
184	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
200	C₂×C₈	—	2	4	no	—
201	C₂×C₈	—	4	8	no	—
202	C₂×C₈	—	4	4	no	—
203	C₂×C₈	—	4	4	no	—
204	C₂×C₈	—	8	8	no	—
205	C₂×C₈	—	8	4	no	—
206	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
207	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
209	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
210	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
218	C₄²	—	2	2	no	—
219	C₄²	—	2	2	no	—
220	C₄²	—	2	4	no	—
221	C₂³	—	2	2	no	—
222	C₂³	—	2	2	no	—
223	C₂³	—	2	8	no	—
224	C₂³	—	4	4	no	—
225	C₂³	—	4	1	no	—
226	C₂³	—	4	1	no	—
227	C₂³	—	4	1	no	—
228	C₂³	—	4	4	no	—
229	C₂³	—	4	1	no	—
230	C₂³	—	4	1	no	—
231	C₂³	—	4	1	no	—
232	C₂³	—	4	2	no	—
233	C₂³	—	4	2	no	—
234	C₂³	—	8	2	no	—
235	C₂³	—	8	2	no	—
236	C₂³	—	8	2	no	—
237	C₂³	—	8	2	no	—
238	C₂³	—	8	4	no	—
239	C₂³	—	8	4	no	—
240	C₂³	—	8	4	no	—
241	C₂³	#380	1	2	yes	—
242	C₂³	#380	1	2	yes	—
243	C₂³	C₂×#107	1	4	yes	—
244	C₂³	C₂×#107	1	2	yes	—
245	C₂³	C₂×#107	1	2	yes	—
246	C₂³	#427	1	2	yes	—
247	C₂³	#427	1	2	yes	—
248	C₂³	#466	1	8	yes	—
249	C₂³	#467	1	8	yes	—
250	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
252	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
253	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
254	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
255	D₄	—	2	16	no	—
256	D₄	—	2	8	no	—
257	D₄	—	2	8	no	—
258	C₂×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂×C₄	—	4	1	no	—
269	C₂×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	1	no	—
271	C₂×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂×C₄	—	4	1	no	—
275	C₂×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂×C₄	—	4	2	no	—
280	C₂×C₄	—	8	4	no	—
281	C₂×C₄	—	8	2	no	—
282	C₂×C₄	—	8	2	no	—
283	C₂×C₄	—	8	8	no	—
284	C₂×C₄	—	8	8	no	—
285	C₂×C₄	—	8	8	no	—
286	C₂×C₄	—	16	16	no	—
287	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₂×#107	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
293	C₈	—	2	8	no	—
294	C₈	—	4	4	no	—
295	C₂²	—	2	1	no	—
296	C₂²	—	2	2	no	—
297	C₂²	—	2	2	no	—
298	C₂²	—	2	2	no	—
299	C₂²	—	2	1	no	—
300	C₂²	—	2	2	no	—
301	C₂²	—	2	2	no	—
302	C₂²	—	2	2	no	—
303	C₂²	—	2	4	no	—
304	C₂²	—	4	8	no	—
305	C₂²	—	4	2	no	—
306	C₂²	—	4	2	no	—
307	C₂²	—	4	1	no	—
308	C₂²	—	4	1	no	—
309	C₂²	—	4	2	no	—
310	C₂²	—	4	2	no	—
311	C₂²	—	4	2	no	—
312	C₂²	—	4	8	no	—
313	C₂²	—	4	4	no	—
314	C₂²	—	4	4	no	—
315	C₂²	—	4	2	no	—
316	C₂²	—	4	2	no	—
317	C₂²	—	8	8	no	—
318	C₂²	#1808	1	4	yes	—
319	C₂²	#1808	1	4	yes	—
320	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	C₂²×#107	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	C₂×#427	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	C₂×#466	1	2	yes	—
324	C₂²	C₂×#467	1	2	yes	—
325	C₄	—	2	1	no	—
326	C₄	—	2	2	no	—
327	C₄	—	2	2	no	—
328	C₄	—	2	2	no	—
329	C₄	—	2	4	no	—
330	C₄	—	4	2	no	—
331	C₄	—	4	2	no	—
332	C₄	—	16	8	no	—
333	C₄	#2883	1	2	yes	—
334	C₂	—	2	2	no	—
335	C₂	—	2	1	no	—
336	C₂	—	2	1	no	—
337	C₂	—	2	4	no	—
338	C₂	—	2	4	no	—
339	C₂	—	2	2	no	—
340	C₂	—	4	4	no	—
341	C₂	#20633	1	1	yes	characteristic
342	C₂	C₂×#1808	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#20671	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#380
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂⁴×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21940	C₂	semidirect
4. #8609	C₂	semidirect
5. C₂×#1289	C₂	semidirect
8. C₂×C₈×D₄	C₄	semidirect
10. C₂×#431	C₄	semidirect
12. C₂²×C₂²⋊C₈	C₄	semidirect
17. #1808	C₂²	semidirect
21. #1289	C₂²	semidirect
26. C₂³×C₈	C₂×C₄	semidirect
44. C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
52. C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
55. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
140. C₂⁴	#107	semidirect
155. C₂×D₄	#107	semidirect
183. C₂²×C₄	#107	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2972	2
#21940	2
C₂×#1799	2
#8609	2
C₂×#1289	2