Subgroups — #188845

Order 512.

851 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 372 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2968	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20830	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#17401	C₂	1	2	yes	maximal
4	#8613	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#8612	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8611	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8007	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#8006	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#529	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#2968	—	2	2	no	—
11	#2968	—	2	2	no	—
12	#2968	—	2	4	no	—
13	C₂×#446	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×#435	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×#435	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
17	#2920	C₂²	1	2	yes	—
18	#2920	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#433	C₄	1	2	yes	—
20	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#405	C₄	1	2	yes	—
22	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1849	—	2	2	no	—
24	#1838	—	2	2	no	—
25	#1810	C₂²	1	4	yes	—
26	#1810	C₂²	1	4	yes	—
27	#1778	—	2	4	no	—
28	#1473	—	2	4	no	—
29	#1470	—	2	2	no	—
30	#1469	—	2	2	no	—
31	#1465	C₂²	1	4	yes	—
32	#1465	C₂²	1	4	yes	—
33	#1293	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1293	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1293	C₂²	1	2	yes	—
36	#1293	C₂²	1	2	yes	—
37	#1293	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
41	#529	—	2	2	no	—
42	#529	—	2	2	no	—
43	#529	—	2	2	no	—
44	#529	—	2	2	no	—
45	C₂×#126	D₄	1	2	yes	—
46	C₂×#125	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#124	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#123	Q₈	1	2	yes	—
49	C₂×C₂²⋊Q₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#121	Q₈	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#446	—	2	4	no	—
57	#446	—	2	4	no	—
58	#435	—	2	4	no	—
59	#435	—	2	4	no	—
60	#435	—	2	4	no	—
61	#435	—	2	4	no	—
62	C₈×D₄	—	2	4	no	—
63	C₈×D₄	—	2	4	no	—
64	#433	—	2	4	no	—
65	#433	—	2	4	no	—
66	#432	—	2	2	no	—
67	#432	—	2	2	no	—
68	#432	—	2	2	no	—
69	#432	—	2	2	no	—
70	#431	—	2	2	no	—
71	#431	—	2	2	no	—
72	#431	—	2	2	no	—
73	#431	—	2	2	no	—
74	#431	—	2	2	no	—
75	#431	—	2	2	no	—
76	C₂×#108	—	2	4	no	—
77	C₂×#108	—	2	4	no	—
78	#423	—	2	2	no	—
79	#423	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#407	C₂³	1	2	yes	—
84	#407	C₂³	1	2	yes	—
85	#407	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#405	—	2	2	no	—
91	#405	—	2	2	no	—
92	#405	—	2	2	no	—
93	#405	—	2	2	no	—
94	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
95	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
96	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
100	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
101	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
102	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
103	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
105	#341	—	2	4	no	—
106	#341	—	2	4	no	—
107	#324	—	2	4	no	—
108	#324	—	2	4	no	—
109	#323	—	2	4	no	—
110	#323	—	2	4	no	—
111	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
116	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
118	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
127	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
128	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	#126	—	2	4	no	—
135	#126	—	2	4	no	—
136	#125	—	2	2	no	—
137	#125	—	2	2	no	—
138	#124	—	2	2	no	—
139	#124	—	2	2	no	—
140	#123	—	2	4	no	—
141	#123	—	2	4	no	—
142	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
143	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	#121	—	2	2	no	—
145	#121	—	2	2	no	—
146	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄×D₄	—	2	4	no	—
149	C₄×D₄	—	2	4	no	—
150	C₄×D₄	—	2	2	no	—
151	C₄×D₄	—	2	2	no	—
152	#117	—	2	2	no	—
153	#117	—	2	2	no	—
154	#117	—	2	2	no	—
155	#117	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
176	#108	—	4	8	no	—
177	#108	—	4	8	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
181	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
182	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
183	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
184	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
185	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
186	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
189	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
190	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
191	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
192	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
193	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
194	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
195	#97	—	2	2	no	—
196	#97	—	2	2	no	—
197	#97	—	4	2	no	—
198	#97	—	4	2	no	—
199	#97	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
200	#97	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
201	#97	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
202	#97	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
203	#97	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
204	#97	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
205	#97	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
206	C₄×C₈	—	2	2	no	—
207	C₄×C₈	—	2	2	no	—
208	C₄×C₈	—	2	2	no	—
209	C₄×C₈	—	2	2	no	—
210	C₄×C₈	—	4	2	no	—
211	C₄×C₈	—	4	2	no	—
212	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
214	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	8	1	no	—
216	C₂×D₄	—	2	4	no	—
217	C₂×D₄	—	2	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	8	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
227	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
242	M₁₆	—	4	4	no	—
243	M₁₆	—	4	4	no	—
244	M₁₆	—	4	4	no	—
245	M₁₆	—	4	4	no	—
246	M₁₆	—	4	4	no	—
247	M₁₆	—	4	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	8	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	2	no	—
252	C₂×C₈	—	4	2	no	—
253	C₂×C₈	—	4	4	no	—
254	C₂×C₈	—	4	4	no	—
255	C₂×C₈	—	4	4	no	—
256	C₂×C₈	—	4	2	no	—
257	C₂×C₈	—	4	2	no	—
258	C₂×C₈	—	4	4	no	—
259	C₂×C₈	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	—	4	2	no	—
261	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
263	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₄²	—	2	2	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
282	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
283	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
284	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
285	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
286	C₄²	#117	1	2	yes	—
287	C₄²	#121	1	2	yes	—
288	C₄²	#121	1	2	yes	—
289	C₄²	#121	1	2	yes	—
290	C₄²	#121	1	2	yes	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	2	4	no	—
294	C₂³	—	4	1	no	—
295	C₂³	—	4	1	no	—
296	C₂³	—	4	2	no	—
297	C₂³	—	4	2	no	—
298	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
300	Q₈	—	8	2	no	—
301	D₄	—	4	8	no	—
302	D₄	—	8	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	1	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	1	no	—
316	C₂×C₄	—	4	1	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
333	C₈	—	2	2	no	—
334	C₈	—	2	4	no	—
335	C₈	—	4	2	no	—
336	C₈	—	4	2	no	—
337	C₈	—	8	4	no	—
338	C₈	—	8	2	no	—
339	C₈	—	8	2	no	—
340	C₈	#410	1	4	yes	—
341	C₂²	—	2	1	no	—
342	C₂²	—	2	1	no	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	4	4	no	—
347	C₂²	—	4	2	no	—
348	C₂²	—	4	2	no	—
349	C₂²	—	4	2	no	—
350	C₂²	—	8	4	no	—
351	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#2916	1	2	yes	—
353	C₄	—	2	2	no	—
354	C₄	—	2	1	no	—
355	C₄	—	2	1	no	—
356	C₄	—	2	1	no	—
357	C₄	—	2	2	no	—
358	C₄	—	2	1	no	—
359	C₄	—	2	1	no	—
360	C₄	—	2	2	no	—
361	C₄	—	4	2	no	—
362	C₄	—	4	2	no	—
363	C₄	—	4	2	no	—
364	C₄	C₂×#410	1	2	yes	—
365	C₂	—	2	2	no	—
366	C₂	—	4	2	no	—
367	C₂	—	8	2	no	—
368	C₂	#20632	1	1	yes	characteristic
369	C₂	#20669	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#20673	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#380
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#121	Q₈
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20830	C₂	semidirect
4. #8613	C₂	semidirect
5. #8612	C₂	semidirect
6. #8611	C₂	semidirect
7. #8007	C₂	semidirect
8. #8006	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2968	2
#20830	2
#17401	2
#8613	2
#8612	2
#8611	2
#8007	2
#8006	2