Subgroups — #188857

Order 512.

832 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 402 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2994	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21969	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#17401	C₂	1	2	yes	maximal
4	#8613	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#8612	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8611	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8007	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#8006	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#529	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#2994	—	2	2	no	—
11	#2994	—	2	2	no	—
12	#2994	—	2	4	no	—
13	C₂×#446	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₈×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#436	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#435	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₈×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
19	#2920	C₂²	1	2	yes	—
20	#2920	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#433	C₄	1	2	yes	—
22	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#424	C₄	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1950	—	2	2	no	—
26	#1950	—	2	4	no	—
27	#1950	—	2	2	no	—
28	#1810	C₂²	1	4	yes	—
29	#1810	C₂²	1	4	yes	—
30	#1473	—	2	4	no	—
31	#1470	—	2	2	no	—
32	#1469	—	2	2	no	—
33	#1465	C₂²	1	4	yes	—
34	#1465	C₂²	1	4	yes	—
35	#1293	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1293	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1293	C₂²	1	2	yes	—
38	#1293	C₂²	1	2	yes	—
39	#1293	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
43	#529	—	2	2	no	—
44	#529	—	2	2	no	—
45	#529	—	2	2	no	—
46	#529	—	2	2	no	—
47	C₂×#126	D₄	1	2	yes	—
48	C₂×#125	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#124	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#123	Q₈	1	2	yes	—
51	C₂×C₂²⋊Q₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#121	Q₈	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#446	—	2	2	no	—
59	#446	—	2	2	no	—
60	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
61	C₈×Q₈	—	2	1	no	—
62	C₈×Q₈	—	2	1	no	—
63	#436	—	2	2	no	—
64	#436	—	2	2	no	—
65	#435	—	2	4	no	—
66	#435	—	2	4	no	—
67	C₈×D₄	—	2	4	no	—
68	C₈×D₄	—	2	4	no	—
69	C₈×D₄	—	2	2	no	—
70	C₈×D₄	—	2	1	no	—
71	C₈×D₄	—	2	1	no	—
72	#433	—	2	4	no	—
73	#433	—	2	4	no	—
74	#432	—	2	2	no	—
75	#432	—	2	2	no	—
76	#432	—	2	2	no	—
77	#432	—	2	2	no	—
78	#431	—	2	2	no	—
79	#431	—	2	2	no	—
80	#431	—	2	2	no	—
81	#431	—	2	2	no	—
82	#431	—	2	2	no	—
83	#431	—	2	2	no	—
84	C₂×#108	—	2	4	no	—
85	C₂×#108	—	2	4	no	—
86	#424	—	2	4	no	—
87	#424	—	2	4	no	—
88	#423	—	2	2	no	—
89	#423	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
100	#407	C₂³	1	2	yes	—
101	#407	C₂³	1	2	yes	—
102	#407	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
108	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
110	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
113	#341	—	2	4	no	—
114	#341	—	2	4	no	—
115	#324	—	2	4	no	—
116	#324	—	2	4	no	—
117	#323	—	2	4	no	—
118	#323	—	2	4	no	—
119	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
124	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
125	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
135	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	#126	—	2	4	no	—
144	#126	—	2	4	no	—
145	#125	—	2	2	no	—
146	#125	—	2	2	no	—
147	#124	—	2	2	no	—
148	#124	—	2	2	no	—
149	#123	—	2	4	no	—
150	#123	—	2	4	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
153	#121	—	2	2	no	—
154	#121	—	2	2	no	—
155	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
156	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
159	C₄×D₄	—	2	4	no	—
160	C₄×D₄	—	2	4	no	—
161	C₄×D₄	—	2	1	no	—
162	C₄×D₄	—	2	1	no	—
163	C₄×D₄	—	2	1	no	—
164	C₄×D₄	—	2	1	no	—
165	#117	—	2	4	no	—
166	#117	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
187	#108	—	8	4	no	—
188	#108	—	8	4	no	—
189	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
190	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
192	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
193	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
194	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
195	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
196	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
197	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
198	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
199	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
200	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
201	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
203	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
204	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
205	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
206	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
207	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
208	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
209	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
210	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
211	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
212	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
213	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
214	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
215	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
216	#97	—	2	4	no	—
217	#97	—	4	2	no	—
218	#97	—	4	2	no	—
219	C₄×C₈	—	2	2	no	—
220	C₄×C₈	—	2	2	no	—
221	C₄×C₈	—	2	1	no	—
222	C₄×C₈	—	2	1	no	—
223	C₄×C₈	—	2	1	no	—
224	C₄×C₈	—	2	1	no	—
225	C₄×C₈	—	4	2	no	—
226	C₄×C₈	—	4	2	no	—
227	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
228	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
229	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	2	4	no	—
233	C₂×D₄	—	2	1	no	—
234	C₂×D₄	—	2	1	no	—
235	C₂×D₄	—	4	4	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
260	M₁₆	—	4	2	no	—
261	M₁₆	—	4	4	no	—
262	M₁₆	—	4	2	no	—
263	M₁₆	—	4	2	no	—
264	M₁₆	—	4	4	no	—
265	M₁₆	—	4	2	no	—
266	M₁₆	—	8	4	no	—
267	C₂×C₈	—	2	1	no	—
268	C₂×C₈	—	2	1	no	—
269	C₂×C₈	—	2	1	no	—
270	C₂×C₈	—	2	1	no	—
271	C₂×C₈	—	4	4	no	—
272	C₂×C₈	—	4	4	no	—
273	C₂×C₈	—	4	2	no	—
274	C₂×C₈	—	4	2	no	—
275	C₂×C₈	—	4	1	no	—
276	C₂×C₈	—	4	1	no	—
277	C₂×C₈	—	4	1	no	—
278	C₂×C₈	—	4	1	no	—
279	C₂×C₈	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	4	no	—
282	C₂×C₈	—	8	2	no	—
283	C₂×C₈	—	8	2	no	—
284	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
287	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
302	C₄²	—	2	2	no	—
303	C₄²	—	2	2	no	—
304	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
305	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
306	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
307	C₄²	#117	1	2	yes	—
308	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
309	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
310	C₄²	#121	1	2	yes	—
311	C₄²	#121	1	2	yes	—
312	C₄²	#121	1	2	yes	—
313	C₄²	#121	1	2	yes	—
314	C₂³	—	2	2	no	—
315	C₂³	—	2	2	no	—
316	C₂³	—	2	4	no	—
317	C₂³	—	4	1	no	—
318	C₂³	—	4	1	no	—
319	C₂³	—	4	2	no	—
320	C₂³	—	4	2	no	—
321	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
323	Q₈	—	4	2	no	—
324	Q₈	—	4	2	no	—
325	D₄	—	4	2	no	—
326	D₄	—	4	8	no	—
327	D₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	1	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	1	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	1	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	1	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
360	C₈	—	2	2	no	—
361	C₈	—	2	2	no	—
362	C₈	—	2	4	no	—
363	C₈	—	4	1	no	—
364	C₈	—	4	1	no	—
365	C₈	—	4	1	no	—
366	C₈	—	4	1	no	—
367	C₈	—	8	2	no	—
368	C₈	—	8	2	no	—
369	C₈	—	8	4	no	—
370	C₂²	—	2	1	no	—
371	C₂²	—	2	1	no	—
372	C₂²	—	2	2	no	—
373	C₂²	—	2	2	no	—
374	C₂²	—	2	2	no	—
375	C₂²	—	4	4	no	—
376	C₂²	—	4	2	no	—
377	C₂²	—	4	2	no	—
378	C₂²	—	4	2	no	—
379	C₂²	—	8	4	no	—
380	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	#2916	1	2	yes	—
382	C₄	—	2	2	no	—
383	C₄	—	2	1	no	—
384	C₄	—	2	1	no	—
385	C₄	—	2	1	no	—
386	C₄	—	2	2	no	—
387	C₄	—	2	2	no	—
388	C₄	—	2	1	no	—
389	C₄	—	4	2	no	—
390	C₄	—	4	2	no	—
391	C₄	—	4	2	no	—
392	C₄	#1813	1	2	yes	—
393	C₄	#2883	1	1	yes	characteristic
394	C₄	#2884	1	1	yes	characteristic
395	C₂	—	2	2	no	—
396	C₂	—	4	2	no	—
397	C₂	—	8	2	no	—
398	C₂	#20634	1	1	yes	characteristic
399	C₂	#20669	1	1	yes	characteristic
400	C₂	C₂×#1813	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#380
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#121	Q₈
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21969	C₂	semidirect
4. #8613	C₂	semidirect
5. #8612	C₂	semidirect
6. #8611	C₂	semidirect
7. #8007	C₂	semidirect
8. #8006	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2994	2
#21969	2
#17401	2
#8613	2
#8612	2
#8611	2
#8007	2
#8006	2