Subgroups — #188860

Order 512.

1272 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 365 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20726	C₂	1	2	yes	maximal
3	#17793	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#8616	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#8614	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8002	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂⁴×C₈	C₄	1	2	yes	—
8	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×C₈×D₄	—	2	2	no	—
10	C₂×C₈×D₄	—	2	2	no	—
11	C₂×C₈×D₄	—	2	2	no	—
12	C₂×C₈×D₄	—	2	2	no	—
13	C₂×C₈×D₄	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×C₈×D₄	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
17	#2920	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₂²⋊C₈	C₄	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#1821	—	2	2	no	—
22	#1800	C₂²	1	8	yes	—
23	#1783	—	2	2	no	—
24	C₄×#100	—	2	4	no	—
25	#1568	—	2	2	no	—
26	#1568	—	2	2	no	—
27	#1567	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#1566	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#1564	—	2	2	no	—
30	#1564	—	2	2	no	—
31	#1292	C₂²	1	8	yes	complemented
32	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
35	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
36	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
37	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
38	C₂³×C₈	—	4	8	no	—
39	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₂²⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₈×D₄	—	2	4	no	—
56	C₈×D₄	—	2	4	no	—
57	C₈×D₄	—	2	4	no	—
58	C₈×D₄	—	2	4	no	—
59	C₈×D₄	—	2	4	no	—
60	C₈×D₄	—	2	4	no	—
61	C₈×D₄	—	2	4	no	—
62	C₈×D₄	—	2	4	no	—
63	#432	—	2	4	no	—
64	#432	—	2	4	no	—
65	#431	—	2	4	no	—
66	#431	—	2	4	no	—
67	#423	C₂³	1	8	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#100	—	2	8	no	—
73	#407	—	2	4	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#343	—	2	8	no	—
88	#335	—	2	4	no	—
89	#335	—	2	4	no	—
90	#334	—	2	4	no	—
91	#334	—	2	4	no	—
92	C₂⁵	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
93	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
97	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
100	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
103	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
104	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
110	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
118	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
120	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
121	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
122	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
123	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
124	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
125	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
126	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₄×D₄	—	2	4	no	—
138	C₄×D₄	—	2	4	no	—
139	C₄×D₄	—	2	4	no	—
140	C₄×D₄	—	2	4	no	—
141	C₄×D₄	—	2	4	no	—
142	C₄×D₄	—	2	4	no	—
143	C₄×D₄	—	2	4	no	—
144	C₄×D₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
161	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
164	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
165	#100	—	4	16	no	—
166	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
167	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
168	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
169	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
170	#97	—	4	4	no	—
171	C₄×C₈	—	4	4	no	—
172	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
173	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
174	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
175	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂⁴	—	2	2	no	—
181	C₂⁴	—	2	2	no	—
182	C₂⁴	—	2	8	no	—
183	C₂⁴	—	4	4	no	—
184	C₂⁴	—	4	4	no	—
185	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
187	C₂×D₄	—	2	16	no	—
188	C₂×D₄	—	2	16	no	—
189	C₂×D₄	—	2	8	no	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	2	4	no	—
192	C₂×D₄	—	2	4	no	—
193	C₂×D₄	#135	1	8	yes	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
229	M₁₆	—	4	16	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	4	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	2	no	—
234	C₂×C₈	—	2	2	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	4	2	no	—
238	C₂×C₈	—	4	1	no	—
239	C₂×C₈	—	4	1	no	—
240	C₂×C₈	—	4	8	no	—
241	C₂×C₈	—	4	8	no	—
242	C₂×C₈	—	4	4	no	—
243	C₂×C₈	—	4	4	no	—
244	C₂×C₈	—	4	8	no	—
245	C₂×C₈	—	4	8	no	—
246	C₂×C₈	—	4	4	no	—
247	C₂×C₈	—	4	8	no	—
248	C₂×C₈	#100	1	4	yes	complemented
249	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
250	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
251	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
255	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
259	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
260	C₄²	#117	1	2	yes	—
261	C₄²	#121	1	2	yes	—
262	C₄²	#121	1	2	yes	—
263	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
264	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
265	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
266	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	8	no	—
271	C₂³	—	2	8	no	—
272	C₂³	—	2	4	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	4	4	no	—
275	C₂³	—	4	4	no	—
276	C₂³	—	4	4	no	—
277	C₂³	—	4	32	no	—
278	C₂³	—	4	4	no	—
279	C₂³	—	4	4	no	—
280	C₂³	—	4	4	no	—
281	C₂³	#380	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	#380	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	#427	1	8	yes	—
284	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
285	D₄	—	2	16	no	—
286	D₄	—	2	16	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	1	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	1	no	—
302	C₂×C₄	—	4	8	no	—
303	C₂×C₄	—	4	8	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	8	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#413	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
321	C₈	—	2	1	no	—
322	C₈	—	2	1	no	—
323	C₈	—	2	2	no	—
324	C₈	—	2	2	no	—
325	C₈	—	4	4	no	—
326	C₈	—	8	8	no	—
327	C₈	C₂×#100	1	2	yes	—
328	C₈	C₂×#100	1	2	yes	—
329	C₂²	—	2	8	no	—
330	C₂²	—	2	1	no	—
331	C₂²	—	2	1	no	—
332	C₂²	—	2	1	no	—
333	C₂²	—	2	1	no	—
334	C₂²	—	2	1	no	—
335	C₂²	—	2	1	no	—
336	C₂²	—	2	8	no	—
337	C₂²	—	4	8	no	—
338	C₂²	—	4	16	no	—
339	C₂²	—	4	16	no	—
340	C₂²	—	4	8	no	—
341	C₂²	—	4	4	no	—
342	C₂²	—	4	4	no	—
343	C₂²	#1800	1	2	yes	—
344	C₂²	#1813	1	2	yes	—
345	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂×#427	1	2	yes	—
347	C₄	—	2	1	no	—
348	C₄	—	2	1	no	—
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	4	4	no	—
353	C₄	#1800	1	2	yes	—
354	C₄	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
355	C₄	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#3050	1	4	yes	—
357	C₂	—	2	2	no	—
358	C₂	—	2	2	no	—
359	C₂	—	2	2	no	—
360	C₂	—	4	8	no	—
361	C₂	C₂×#1800	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#20658	1	1	yes	characteristic
363	C₂	C₂×#1813	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#380
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#380
prime radical	C₂³×D₄	D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #17793	C₂	semidirect
4. #8616	C₂	semidirect
5. #8614	C₂	semidirect
6. #8002	C₂	semidirect
27. #1567	C₂²	semidirect
28. #1566	C₂²	semidirect
31. #1292	C₂²	semidirect
248. C₂×C₈	#100	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₈×D₄	2
#20726	2
#17793	2
#8616	2
#8614	2
#8002	2