Subgroups — #188874

Order 512.

924 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 408 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20727	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1801	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#17796	C₂	1	2	yes	maximal
5	#8619	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8617	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8615	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8004	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	Q₈×M₁₆	—	2	2	no	—
11	Q₈×M₁₆	—	2	2	no	—
12	Q₈×M₁₆	—	2	4	no	—
13	C₂×#446	C₄	1	4	yes	—
14	C₂×#446	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	#2920	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#423	C₄	1	2	yes	—
18	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#101	—	2	1	no	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₄	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1821	—	2	1	no	—
24	#1801	—	2	1	no	—
25	#1801	—	2	1	no	—
26	#1801	C₂²	1	2	yes	—
27	#1801	C₂²	1	2	yes	—
28	#1801	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1801	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1801	C₂²	1	2	yes	—
31	#1784	—	2	1	no	—
32	C₄×#101	—	2	1	no	—
33	C₄×#101	—	2	1	no	—
34	C₂×#343	—	2	1	no	—
35	#1569	—	2	4	no	—
36	#1567	C₂²	1	4	yes	—
37	#1566	C₂²	1	4	yes	—
38	#1565	—	2	2	no	—
39	#1565	—	2	2	no	—
40	#1292	C₂²	1	4	yes	—
41	#1292	C₂²	1	4	yes	—
42	C₂³×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
44	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	2	yes	—
55	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#446	—	2	8	no	—
62	#446	—	2	8	no	—
63	#446	—	2	4	no	—
64	#446	—	2	4	no	—
65	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
66	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
67	#432	—	2	2	no	—
68	#432	—	2	2	no	—
69	#431	—	2	2	no	—
70	#431	—	2	2	no	—
71	#423	—	2	4	no	—
72	#423	—	2	4	no	—
73	#423	—	2	2	no	—
74	#423	—	2	2	no	—
75	#423	—	2	2	no	—
76	#423	—	2	2	no	—
77	#423	—	2	2	no	—
78	#423	C₂³	1	2	yes	—
79	#423	C₂³	1	4	yes	—
80	#423	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×#101	—	2	2	no	—
88	C₂×#101	—	2	2	no	—
89	C₂×#101	—	2	2	no	—
90	C₂×#101	—	2	1	no	—
91	C₂×#101	—	2	1	no	—
92	C₂×#101	—	4	4	no	—
93	#407	—	2	2	no	—
94	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
95	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
96	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
97	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
98	C₄×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
99	C₄×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
100	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
101	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
102	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
105	#343	—	2	2	no	—
106	#343	—	2	2	no	—
107	#343	—	2	1	no	—
108	#343	—	2	1	no	—
109	#343	—	2	2	no	—
110	#335	—	2	4	no	—
111	#335	—	2	4	no	—
112	#334	—	2	4	no	—
113	#334	—	2	4	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
119	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
120	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
138	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
140	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
142	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
144	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
148	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
149	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
152	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
153	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
154	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
155	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
156	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
186	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
189	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
190	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
192	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
193	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
195	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
196	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
197	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
198	#101	—	4	4	no	—
199	#101	—	4	4	no	—
200	#101	—	4	2	no	—
201	#101	—	4	4	no	—
202	#101	—	4	2	no	—
203	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
204	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
205	#97	—	2	4	no	—
206	#97	—	2	4	no	—
207	#97	—	4	2	no	—
208	#97	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
209	#97	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
210	C₄×C₈	—	2	4	no	—
211	C₄×C₈	—	2	4	no	—
212	C₄×C₈	—	4	2	no	—
213	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
214	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
215	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
229	C₂×Q₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
230	C₂×Q₈	#137	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
244	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
262	M₁₆	—	2	2	no	—
263	M₁₆	—	2	4	no	—
264	M₁₆	—	2	4	no	—
265	M₁₆	—	4	2	no	—
266	M₁₆	—	4	4	no	—
267	M₁₆	—	4	4	no	—
268	M₁₆	—	4	4	no	—
269	M₁₆	—	4	2	no	—
270	M₁₆	—	4	2	no	—
271	M₁₆	—	4	2	no	—
272	M₁₆	—	4	2	no	—
273	M₁₆	—	4	4	no	—
274	M₁₆	—	8	4	no	—
275	M₁₆	#101	1	4	yes	complemented
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	2	4	no	—
278	C₂×C₈	—	4	2	no	—
279	C₂×C₈	—	4	4	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	4	no	—
283	C₂×C₈	—	8	4	no	—
284	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
286	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
287	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄²	—	2	2	no	—
295	C₄²	—	2	2	no	—
296	C₄²	—	2	2	no	—
297	C₄²	—	2	2	no	—
298	C₄²	—	2	2	no	—
299	C₄²	—	2	2	no	—
300	C₄²	—	2	2	no	—
301	C₄²	—	2	2	no	—
302	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
303	C₄²	#117	1	2	yes	—
304	C₄²	#121	1	2	yes	—
305	C₄²	#121	1	2	yes	—
306	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
307	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
308	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
309	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
310	C₂³	—	2	2	no	—
311	C₂³	—	2	1	no	—
312	C₂³	—	2	1	no	—
313	C₂³	—	4	1	no	—
314	C₂³	#380	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	#380	1	1	yes	characteristic
316	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
317	Q₈	—	2	4	no	—
318	Q₈	—	2	4	no	—
319	Q₈	—	4	8	no	—
320	Q₈	—	4	2	no	—
321	Q₈	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	1	no	—
324	C₂×C₄	—	2	1	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	2	1	no	—
332	C₂×C₄	—	2	1	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	1	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	1	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	8	2	no	—
351	C₂×C₄	—	8	2	no	—
352	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂×#101	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#413	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#428	1	4	yes	—
359	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
366	C₈	—	2	2	no	—
367	C₈	—	2	4	no	—
368	C₈	—	4	4	no	—
369	C₈	—	8	4	no	—
370	C₈	—	8	2	no	—
371	C₈	—	8	2	no	—
372	C₈	C₂×#101	1	4	yes	complemented
373	C₂²	—	2	1	no	—
374	C₂²	—	2	1	no	—
375	C₂²	—	2	1	no	—
376	C₂²	—	2	1	no	—
377	C₂²	—	2	1	no	—
378	C₂²	—	2	1	no	—
379	C₂²	—	2	1	no	—
380	C₂²	—	4	2	no	—
381	C₂²	—	4	2	no	—
382	C₂²	#1801	1	2	yes	—
383	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	C₂×#428	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	#2911	1	1	yes	characteristic
386	C₄	—	2	1	no	—
387	C₄	—	2	1	no	—
388	C₄	—	2	2	no	—
389	C₄	—	2	4	no	—
390	C₄	—	2	2	no	—
391	C₄	—	2	2	no	—
392	C₄	—	4	2	no	—
393	C₄	—	4	2	no	—
394	C₄	—	4	2	no	—
395	C₄	#1801	1	2	yes	—
396	C₄	C₂²×#101	1	1	yes	characteristic
397	C₄	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
398	C₄	#3055	1	2	yes	—
399	C₄	#3056	1	2	yes	—
400	C₂	—	2	2	no	—
401	C₂	—	2	1	no	—
402	C₂	—	2	1	no	—
403	C₂	—	4	1	no	—
404	C₂	C₂×#1801	1	1	yes	characteristic
405	C₂	#20661	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#20673	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#380
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #8619	C₂	semidirect
6. #8617	C₂	semidirect
7. #8615	C₂	semidirect
275. M₁₆	#101	semidirect
372. C₈	C₂×#101	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈×M₁₆	2
#20727	2
C₂×#1801	2
#17796	2
#8619	2
#8617	2
#8615	2
#8004	2