Subgroups — #188877

Order 512.

1076 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 389 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2935	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21878	C₂	1	2	yes	maximal
3	#17796	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#8618	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#8616	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8614	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8002	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#1292	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#131	C₄	1	2	yes	—
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2935	—	2	2	no	—
12	#2935	—	2	2	no	—
13	#2935	—	2	4	no	—
14	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#435	C₄	1	4	yes	—
16	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
17	#2920	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#408	C₄	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1997	—	2	2	no	—
23	#1965	—	2	2	no	—
24	#1900	—	2	4	no	—
25	#1800	C₂²	1	4	yes	—
26	#1800	C₂²	1	4	yes	—
27	#1569	—	2	4	no	—
28	#1567	C₂²	1	4	yes	—
29	#1566	C₂²	1	4	yes	—
30	#1565	—	2	2	no	—
31	#1565	—	2	2	no	—
32	#1292	C₂²	1	2	yes	—
33	#1292	C₂²	1	2	yes	—
34	#1292	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1292	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1292	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂×#131	—	2	4	no	—
39	C₂×#131	—	2	2	no	—
40	C₂×#131	—	2	2	no	—
41	C₂×#131	—	4	8	no	—
42	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
43	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	#532	—	2	2	no	—
49	#532	—	2	2	no	—
50	#532	—	2	2	no	—
51	#532	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#124	Q₈	1	2	yes	—
55	C₂×#121	D₄	1	2	yes	—
56	C₂×#121	Q₈	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#436	—	2	4	no	—
61	#436	—	2	4	no	—
62	#435	—	2	8	no	—
63	#435	—	2	8	no	—
64	C₈×D₄	—	2	4	no	—
65	C₈×D₄	—	2	4	no	—
66	#432	—	2	2	no	—
67	#432	—	2	2	no	—
68	#431	—	2	2	no	—
69	#431	—	2	2	no	—
70	#423	—	2	2	no	—
71	#423	—	2	2	no	—
72	#423	—	2	2	no	—
73	#423	C₂³	1	2	yes	—
74	#423	C₂³	1	4	yes	—
75	#423	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×#100	—	2	4	no	—
84	C₂×#100	—	2	4	no	—
85	#408	—	2	4	no	—
86	#408	—	2	4	no	—
87	#407	—	2	2	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
90	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
91	C₄×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
92	C₄×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
93	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
94	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	#343	—	2	4	no	—
97	#343	—	2	4	no	—
98	#335	—	2	4	no	—
99	#335	—	2	4	no	—
100	#334	—	2	4	no	—
101	#334	—	2	4	no	—
102	C₂×#41	—	2	2	no	—
103	C₂×#41	—	2	2	no	—
104	C₂×#41	—	2	2	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	4	4	no	—
107	C₂×#41	—	4	4	no	—
108	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
109	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
110	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
111	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
112	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
117	#131	—	4	8	no	—
118	#131	—	4	16	no	—
119	#131	—	4	8	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
127	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
131	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
133	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
134	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
135	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
141	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
142	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
143	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	#127	—	2	2	no	—
150	#127	—	2	2	no	—
151	#124	—	2	4	no	—
152	#124	—	2	4	no	—
153	#121	—	2	4	no	—
154	#121	—	2	4	no	—
155	#121	—	2	4	no	—
156	#121	—	2	4	no	—
157	C₄×D₄	—	2	4	no	—
158	C₄×D₄	—	2	4	no	—
159	C₄×D₄	—	2	4	no	—
160	C₄×D₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
173	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
174	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
175	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
176	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
177	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
183	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
184	#100	—	8	4	no	—
185	#100	—	8	4	no	—
186	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
189	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
190	#97	—	4	2	no	—
191	#97	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
192	#97	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
193	C₄×C₈	—	4	2	no	—
194	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
198	#41	—	4	4	no	—
199	#41	—	4	8	no	—
200	#41	—	4	8	no	—
201	#41	—	4	4	no	—
202	#41	—	4	4	no	—
203	#41	—	4	4	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	—	2	4	no	—
208	C₂×D₄	—	2	4	no	—
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	—	2	4	no	—
212	C₂×D₄	—	2	2	no	—
213	C₂×D₄	—	2	2	no	—
214	C₂×D₄	—	2	2	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	8	no	—
218	C₂×D₄	—	8	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
244	M₁₆	—	2	2	no	—
245	M₁₆	—	2	4	no	—
246	M₁₆	—	2	4	no	—
247	M₁₆	—	4	2	no	—
248	M₁₆	—	4	8	no	—
249	M₁₆	—	4	8	no	—
250	M₁₆	—	4	2	no	—
251	M₁₆	—	4	4	no	—
252	M₁₆	—	4	2	no	—
253	M₁₆	—	4	4	no	—
254	M₁₆	—	4	2	no	—
255	M₁₆	—	4	2	no	—
256	M₁₆	—	8	4	no	—
257	M₁₆	#100	1	4	yes	complemented
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	—	2	2	no	—
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	4	2	no	—
262	C₂×C₈	—	4	8	no	—
263	C₂×C₈	—	4	4	no	—
264	C₂×C₈	—	4	4	no	—
265	C₂×C₈	—	4	8	no	—
266	C₂×C₈	—	4	2	no	—
267	C₂×C₈	—	4	2	no	—
268	C₂×C₈	—	4	2	no	—
269	C₂×C₈	—	4	2	no	—
270	C₂×C₈	—	4	4	no	—
271	C₂×C₈	—	8	4	no	—
272	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
273	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
274	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
275	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
279	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
280	C₄²	#117	1	2	yes	—
281	C₄²	#121	1	2	yes	—
282	C₄²	#121	1	2	yes	—
283	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
284	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
285	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
286	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	2	1	no	—
289	C₂³	—	2	1	no	—
290	C₂³	—	2	4	no	—
291	C₂³	—	2	4	no	—
292	C₂³	—	2	4	no	—
293	C₂³	—	4	1	no	—
294	C₂³	—	4	4	no	—
295	C₂³	—	4	4	no	—
296	C₂³	#380	1	1	yes	characteristic
297	C₂³	#380	1	1	yes	characteristic
298	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
299	Q₈	—	4	4	no	—
300	Q₈	—	4	4	no	—
301	D₄	—	4	4	no	—
302	D₄	—	4	8	no	—
303	D₄	—	4	8	no	—
304	D₄	—	4	4	no	—
305	D₄	—	4	4	no	—
306	D₄	—	4	4	no	—
307	D₄	—	8	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	1	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	1	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	1	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	1	no	—
326	C₂×C₄	—	4	8	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#413	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
343	C₈	—	2	2	no	—
344	C₈	—	2	4	no	—
345	C₈	—	4	2	no	—
346	C₈	—	4	2	no	—
347	C₈	—	8	4	no	—
348	C₈	—	8	2	no	—
349	C₈	—	8	2	no	—
350	C₈	C₂×#100	1	4	yes	—
351	C₂²	—	2	1	no	—
352	C₂²	—	2	1	no	—
353	C₂²	—	2	1	no	—
354	C₂²	—	2	1	no	—
355	C₂²	—	2	1	no	—
356	C₂²	—	2	1	no	—
357	C₂²	—	2	1	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	4	2	no	—
360	C₂²	—	4	4	no	—
361	C₂²	—	4	4	no	—
362	C₂²	—	4	4	no	—
363	C₂²	—	8	4	no	—
364	C₂²	—	8	4	no	—
365	C₂²	#1800	1	2	yes	—
366	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#2912	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#2913	1	1	yes	characteristic
369	C₄	—	2	1	no	—
370	C₄	—	2	1	no	—
371	C₄	—	2	2	no	—
372	C₄	—	2	2	no	—
373	C₄	—	2	2	no	—
374	C₄	—	4	4	no	—
375	C₄	#1800	1	2	yes	—
376	C₄	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
377	C₄	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#3062	1	2	yes	—
379	C₄	#3063	1	2	yes	—
380	C₂	—	2	1	no	—
381	C₂	—	2	1	no	—
382	C₂	—	2	2	no	—
383	C₂	—	4	1	no	—
384	C₂	—	8	4	no	—
385	C₂	C₂×#1800	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#20664	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#20673	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#380
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #17796	C₂	semidirect
4. #8618	C₂	semidirect
5. #8616	C₂	semidirect
6. #8614	C₂	semidirect
7. #8002	C₂	semidirect
8. C₂×#1292	C₂	semidirect
257. M₁₆	#100	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2935	2
#21878	2
#17796	2
#8618	2
#8616	2
#8614	2
#8002	2
C₂×#1292	2