Subgroups — #188912

Order 512.

1140 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 338 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#17793	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#17364	C₂	1	2	yes	maximal
4	#8624	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#7988	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂³×M₁₆	C₄	1	2	yes	—
7	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×#436	—	2	2	no	—
9	C₂×#436	—	2	2	no	—
10	C₂×#436	—	2	2	no	—
11	C₂×#436	—	2	2	no	—
12	C₂×#436	C₄	1	4	yes	—
13	C₂×#436	C₂²	1	4	yes	—
14	#2920	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₂²⋊C₈	C₄	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#1568	C₂²	1	4	yes	complemented
19	#1568	C₂²	1	4	yes	complemented
20	#1567	—	2	2	no	—
21	#1566	—	2	2	no	—
22	#1564	—	2	2	no	—
23	#1564	—	2	2	no	—
24	#1466	C₂²	1	8	yes	—
25	#1462	—	2	4	no	—
26	#1460	—	2	4	no	—
27	#1290	C₂²	1	8	yes	complemented
28	C₂³×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
29	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
31	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
32	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	4	8	no	—
34	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
35	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	2	yes	—
45	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
48	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#436	—	2	4	no	—
50	#436	—	2	4	no	—
51	#436	—	2	4	no	—
52	#436	—	2	4	no	—
53	#436	—	2	4	no	—
54	#436	—	2	4	no	—
55	#436	—	2	4	no	—
56	#436	—	2	4	no	—
57	#432	—	2	4	no	—
58	#432	C₂³	1	8	yes	—
59	#431	—	2	4	no	—
60	#431	—	2	4	no	—
61	#423	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
66	#407	—	2	4	no	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
71	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	#335	—	2	4	no	—
79	#335	—	2	4	no	—
80	#334	—	2	4	no	—
81	#334	—	2	4	no	—
82	#323	—	2	16	no	—
83	C₂⁵	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
84	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
86	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
87	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
88	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
94	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
95	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
101	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
103	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
104	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
105	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
106	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
107	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
113	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₄×D₄	—	2	4	no	—
123	C₄×D₄	—	2	4	no	—
124	C₄×D₄	—	2	4	no	—
125	C₄×D₄	—	2	4	no	—
126	C₄×D₄	—	2	4	no	—
127	C₄×D₄	—	2	4	no	—
128	C₄×D₄	—	2	4	no	—
129	C₄×D₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
146	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
147	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
148	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
149	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
150	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
151	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
152	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
153	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
154	#97	—	2	8	no	—
155	C₄×C₈	—	4	4	no	—
156	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
157	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
159	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂⁴	—	2	2	no	—
165	C₂⁴	—	2	2	no	—
166	C₂⁴	—	4	4	no	—
167	C₂⁴	—	4	4	no	—
168	C₂⁴	—	4	4	no	—
169	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
171	C₂×D₄	—	2	4	no	—
172	C₂×D₄	—	2	4	no	—
173	C₂×D₄	—	2	8	no	—
174	C₂×D₄	—	4	4	no	—
175	C₂×D₄	—	4	8	no	—
176	C₂×D₄	—	4	8	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
212	M₁₆	—	4	16	no	—
213	M₁₆	—	4	16	no	—
214	M₁₆	—	8	8	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	4	no	—
217	C₂×C₈	—	2	4	no	—
218	C₂×C₈	—	2	4	no	—
219	C₂×C₈	—	2	4	no	—
220	C₂×C₈	—	4	1	no	—
221	C₂×C₈	—	4	1	no	—
222	C₂×C₈	—	4	2	no	—
223	C₂×C₈	—	4	4	no	—
224	C₂×C₈	—	4	4	no	—
225	C₂×C₈	—	4	4	no	—
226	C₂×C₈	—	4	8	no	—
227	C₂×C₈	#100	1	4	yes	—
228	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
229	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
230	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
231	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
232	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
236	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
237	C₄²	#117	1	2	yes	—
238	C₄²	#121	1	2	yes	—
239	C₄²	#121	1	2	yes	—
240	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
241	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
242	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
243	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
244	C₂³	—	2	2	no	—
245	C₂³	—	2	2	no	—
246	C₂³	—	2	2	no	—
247	C₂³	—	2	4	no	—
248	C₂³	—	2	8	no	—
249	C₂³	—	4	4	no	—
250	C₂³	—	4	4	no	—
251	C₂³	—	4	4	no	—
252	C₂³	—	4	4	no	—
253	C₂³	—	4	4	no	—
254	C₂³	—	4	4	no	—
255	C₂³	—	4	4	no	—
256	C₂³	—	4	4	no	—
257	C₂³	—	8	16	no	—
258	C₂³	#380	1	1	yes	characteristic
259	C₂³	#380	1	1	yes	characteristic
260	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
261	D₄	—	4	8	no	—
262	D₄	—	4	8	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	4	1	no	—
276	C₂×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂×C₄	—	4	1	no	—
278	C₂×C₄	—	4	8	no	—
279	C₂×C₄	—	4	8	no	—
280	C₂×C₄	—	4	4	no	—
281	C₂×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	8	no	—
283	C₂×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#413	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	#430	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
297	C₈	—	2	2	no	—
298	C₈	—	2	2	no	—
299	C₈	—	2	2	no	—
300	C₈	—	4	4	no	—
301	C₈	—	8	8	no	—
302	C₈	C₂×#100	1	4	yes	—
303	C₂²	—	2	8	no	—
304	C₂²	—	2	1	no	—
305	C₂²	—	2	1	no	—
306	C₂²	—	2	1	no	—
307	C₂²	—	2	1	no	—
308	C₂²	—	2	1	no	—
309	C₂²	—	2	1	no	—
310	C₂²	—	4	4	no	—
311	C₂²	—	4	4	no	—
312	C₂²	—	4	4	no	—
313	C₂²	—	8	8	no	—
314	C₂²	—	8	8	no	—
315	C₂²	—	8	8	no	—
316	C₂²	#1800	1	2	yes	—
317	C₂²	#1812	1	2	yes	—
318	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	C₂×#430	1	2	yes	—
320	C₄	—	2	1	no	—
321	C₄	—	2	1	no	—
322	C₄	—	2	2	no	—
323	C₄	—	2	2	no	—
324	C₄	—	2	2	no	—
325	C₄	—	4	4	no	—
326	C₄	#1800	1	2	yes	—
327	C₄	#1811	1	4	yes	—
328	C₄	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
329	C₄	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
330	C₂	—	2	2	no	—
331	C₂	—	2	2	no	—
332	C₂	—	2	2	no	—
333	C₂	—	8	4	no	—
334	C₂	C₂×#1800	1	1	yes	characteristic
335	C₂	C₂×#1811	1	1	yes	characteristic
336	C₂	C₂×#1812	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#380
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#380
prime radical	C₂³×D₄	Q₈
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #17793	C₂	semidirect
4. #8624	C₂	semidirect
5. #7988	C₂	semidirect
18. #1568	C₂²	semidirect
19. #1568	C₂²	semidirect
27. #1290	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#436	2
#17793	2
#17364	2
#8624	2
#7988	2