Subgroups — #188917

Order 512.

1130 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 421 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#17797	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#17364	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1466	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#8624	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8622	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8620	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#7990	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂³×M₁₆	C₄	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	D₄×M₁₆	—	2	2	no	—
12	D₄×M₁₆	—	2	2	no	—
13	D₄×M₁₆	—	2	4	no	—
14	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#435	C₄	1	4	yes	—
16	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
17	#2920	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#407	C₄	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1569	—	2	4	no	—
23	#1568	C₂²	1	4	yes	complemented
24	#1568	C₂²	1	4	yes	complemented
25	#1565	—	2	2	no	—
26	#1565	—	2	2	no	—
27	#1466	—	2	2	no	—
28	#1466	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1466	C₂²	1	2	yes	—
30	#1466	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1466	C₂²	1	2	yes	—
32	#1466	C₂²	1	2	yes	—
33	#1462	—	2	2	no	—
34	#1460	—	2	2	no	—
35	C₂×#323	—	2	2	no	—
36	#1290	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#1290	C₂²	1	4	yes	complemented
38	C₂³×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
39	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
41	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
42	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
43	C₂²×M₁₆	—	4	8	no	—
44	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄⋊C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#436	—	2	4	no	—
63	#436	—	2	4	no	—
64	#435	—	2	8	no	—
65	#435	—	2	8	no	—
66	C₈×D₄	—	2	4	no	—
67	C₈×D₄	—	2	4	no	—
68	#432	—	2	2	no	—
69	#432	—	2	2	no	—
70	#432	—	2	2	no	—
71	#432	—	2	2	no	—
72	#432	C₂³	1	4	yes	—
73	#432	C₂³	1	2	yes	—
74	#432	C₂³	1	2	yes	—
75	#431	—	2	2	no	—
76	#431	—	2	2	no	—
77	#423	—	2	2	no	—
78	#423	—	2	2	no	—
79	#423	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	#407	—	2	4	no	—
84	#407	—	2	4	no	—
85	#407	—	2	2	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
89	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
90	C₄×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
91	C₄×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
92	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
93	C₂×#97	—	2	2	no	—
94	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	#335	—	2	4	no	—
97	#335	—	2	4	no	—
98	#334	—	2	4	no	—
99	#334	—	2	4	no	—
100	#323	—	2	4	no	—
101	#323	—	2	4	no	—
102	#323	—	2	2	no	—
103	#323	—	2	2	no	—
104	#323	—	2	4	no	—
105	C₂⁵	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
109	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
110	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
117	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
118	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
132	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
134	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
136	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
138	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
140	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
142	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
146	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
147	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₄×D₄	—	2	4	no	—
151	C₄×D₄	—	2	4	no	—
152	C₄×D₄	—	2	4	no	—
153	C₄×D₄	—	2	4	no	—
154	C₄×D₄	—	2	2	no	—
155	C₄×D₄	—	2	2	no	—
156	C₄×D₄	—	2	2	no	—
157	C₄×D₄	—	2	2	no	—
158	C₄×D₄	—	2	2	no	—
159	C₄×D₄	—	2	2	no	—
160	C₄×D₄	—	2	2	no	—
161	C₄×D₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
181	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
187	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
189	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
190	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
191	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
192	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
193	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
194	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
195	#97	—	2	4	no	—
196	#97	—	2	2	no	—
197	#97	—	2	2	no	—
198	#97	—	4	2	no	—
199	#97	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
200	#97	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
201	C₄×C₈	—	4	2	no	—
202	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
204	C₂⁴	—	2	2	no	—
205	C₂⁴	—	2	2	no	—
206	C₂⁴	—	2	4	no	—
207	C₂⁴	—	4	2	no	—
208	C₂⁴	—	4	4	no	—
209	C₂⁴	—	8	2	no	—
210	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₂×D₄	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	2	no	—
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	8	no	—
221	C₂×D₄	—	4	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
249	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
265	M₁₆	—	2	2	no	—
266	M₁₆	—	2	4	no	—
267	M₁₆	—	2	4	no	—
268	M₁₆	—	4	2	no	—
269	M₁₆	—	4	8	no	—
270	M₁₆	—	4	4	no	—
271	M₁₆	—	4	4	no	—
272	M₁₆	—	4	8	no	—
273	M₁₆	—	8	4	no	—
274	M₁₆	#100	1	4	yes	—
275	C₂×C₈	—	2	4	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	—	4	8	no	—
279	C₂×C₈	—	4	8	no	—
280	C₂×C₈	—	4	4	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	4	no	—
284	C₂×C₈	—	8	4	no	—
285	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
286	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
287	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
288	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
296	C₄²	#117	1	2	yes	—
297	C₄²	#121	1	2	yes	—
298	C₄²	#121	1	2	yes	—
299	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
300	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
301	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
302	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
303	C₂³	—	2	2	no	—
304	C₂³	—	2	2	no	—
305	C₂³	—	2	2	no	—
306	C₂³	—	2	2	no	—
307	C₂³	—	2	2	no	—
308	C₂³	—	2	2	no	—
309	C₂³	—	2	2	no	—
310	C₂³	—	4	1	no	—
311	C₂³	—	4	4	no	—
312	C₂³	—	4	4	no	—
313	C₂³	—	4	2	no	—
314	C₂³	—	4	2	no	—
315	C₂³	—	4	4	no	—
316	C₂³	—	4	2	no	—
317	C₂³	—	4	2	no	—
318	C₂³	—	4	4	no	—
319	C₂³	—	8	2	no	—
320	C₂³	—	8	2	no	—
321	C₂³	—	8	8	no	—
322	C₂³	—	8	8	no	—
323	C₂³	#380	1	1	yes	characteristic
324	C₂³	#380	1	1	yes	characteristic
325	C₂³	#430	1	4	yes	—
326	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
327	D₄	—	2	8	no	—
328	D₄	—	4	8	no	—
329	D₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	1	no	—
336	C₂×C₄	—	2	1	no	—
337	C₂×C₄	—	2	1	no	—
338	C₂×C₄	—	2	1	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	1	no	—
346	C₂×C₄	—	4	1	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#413	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
371	C₈	—	2	2	no	—
372	C₈	—	2	4	no	—
373	C₈	—	4	4	no	—
374	C₈	—	8	4	no	—
375	C₈	—	8	2	no	—
376	C₈	—	8	2	no	—
377	C₈	C₂×#100	1	4	yes	—
378	C₂²	—	2	1	no	—
379	C₂²	—	2	1	no	—
380	C₂²	—	2	1	no	—
381	C₂²	—	2	1	no	—
382	C₂²	—	2	1	no	—
383	C₂²	—	2	1	no	—
384	C₂²	—	2	4	no	—
385	C₂²	—	2	1	no	—
386	C₂²	—	4	4	no	—
387	C₂²	—	4	4	no	—
388	C₂²	—	4	4	no	—
389	C₂²	—	4	2	no	—
390	C₂²	—	4	2	no	—
391	C₂²	—	4	2	no	—
392	C₂²	—	4	2	no	—
393	C₂²	—	4	2	no	—
394	C₂²	—	8	8	no	—
395	C₂²	—	8	2	no	—
396	C₂²	—	8	2	no	—
397	C₂²	—	8	8	no	—
398	C₂²	#1800	1	2	yes	—
399	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
400	C₂²	C₂×#430	1	2	yes	—
401	C₄	—	2	1	no	—
402	C₄	—	2	1	no	—
403	C₄	—	2	2	no	—
404	C₄	—	2	2	no	—
405	C₄	—	2	2	no	—
406	C₄	—	2	2	no	—
407	C₄	—	4	2	no	—
408	C₄	—	4	2	no	—
409	C₄	#1800	1	2	yes	—
410	C₄	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
411	C₄	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
412	C₂	—	2	2	no	—
413	C₂	—	2	2	no	—
414	C₂	—	4	1	no	—
415	C₂	—	4	4	no	—
416	C₂	—	8	2	no	—
417	C₂	C₂×#1800	1	1	yes	characteristic
418	C₂	#20667	1	1	yes	characteristic
419	C₂	#20671	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#380
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	Q₈
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #17797	C₂	semidirect
5. #8624	C₂	semidirect
6. #8622	C₂	semidirect
7. #8620	C₂	semidirect
8. #7990	C₂	semidirect
23. #1568	C₂²	semidirect
24. #1568	C₂²	semidirect
36. #1290	C₂²	semidirect
37. #1290	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×M₁₆	2
#17797	2
#17364	2
C₂×#1466	2
#8624	2
#8622	2
#8620	2
#7990	2