Subgroups — #188990

Order 512.

1012 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 386 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60144	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#17797	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#17663	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1536	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#8634	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8632	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8630	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8121	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#568	C₄	1	2	yes	—
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2935	—	2	4	no	—
12	D₄×M₁₆	—	2	2	no	—
13	D₄×M₁₆	—	2	2	no	—
14	#2932	C₄	1	4	yes	—
15	#2931	C₂²	1	2	yes	—
16	#2931	C₂²	1	2	yes	—
17	#2920	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2879	C₄	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1569	—	2	4	no	—
23	#1568	C₂²	1	4	yes	complemented
24	#1568	C₂²	1	4	yes	complemented
25	#1565	—	2	2	no	—
26	#1565	—	2	2	no	—
27	#1536	—	2	2	no	—
28	#1536	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1536	C₂²	1	2	yes	—
30	#1536	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1536	C₂²	1	2	yes	—
32	#1536	C₂²	1	2	yes	—
33	#1533	—	2	2	no	—
34	#1525	—	2	2	no	—
35	C₂×#329	—	2	2	no	—
36	#1307	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#1307	C₂²	1	4	yes	complemented
38	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	#568	—	4	8	no	—
40	C₂×#131	—	2	4	no	—
41	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
44	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
45	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	#532	—	2	2	no	—
49	#532	—	2	2	no	—
50	#532	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	#532	D₄	1	2	yes	—
52	#532	Q₈	1	1	yes	characteristic
53	#532	Q₈	1	1	yes	characteristic
54	#532	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#532	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄⋊Q₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#127	Q₈	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
59	C₂×#121	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#436	—	2	4	no	—
63	#436	—	2	4	no	—
64	#435	—	2	8	no	—
65	#435	—	2	8	no	—
66	C₈×D₄	—	2	4	no	—
67	C₈×D₄	—	2	4	no	—
68	#432	—	2	2	no	—
69	#432	—	2	2	no	—
70	#432	—	2	2	no	—
71	#432	—	2	2	no	—
72	#432	C₂³	1	4	yes	—
73	#432	C₂³	1	2	yes	—
74	#432	C₂³	1	2	yes	—
75	#431	—	2	2	no	—
76	#431	—	2	2	no	—
77	#423	—	2	2	no	—
78	#423	—	2	2	no	—
79	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	#423	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
83	#408	—	2	4	no	—
84	#408	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	#408	C₂×C₄	1	4	yes	—
86	#407	—	2	4	no	—
87	#407	—	2	2	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
89	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
90	C₄×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
91	C₄×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
92	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
93	C₂×#97	—	2	2	no	—
94	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	#335	—	2	4	no	—
97	#335	—	2	4	no	—
98	#334	—	2	4	no	—
99	#334	—	2	4	no	—
100	#329	—	2	4	no	—
101	#329	—	2	4	no	—
102	#329	—	2	2	no	—
103	#329	—	2	2	no	—
104	#329	—	2	4	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	4	4	no	—
108	C₂×#41	—	4	4	no	—
109	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
110	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
111	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
120	#131	—	4	8	no	—
121	#131	—	4	8	no	—
122	#131	—	4	16	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
129	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
130	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
132	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
134	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
135	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
136	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
142	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
146	C₄⋊Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
147	C₄⋊Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
148	#127	—	2	2	no	—
149	#127	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
150	#127	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
151	#127	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
152	#124	—	2	4	no	—
153	#124	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
154	#124	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
155	#124	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	#124	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	#121	—	2	4	no	—
158	#121	—	2	4	no	—
159	#121	—	2	2	no	—
160	#121	—	2	2	no	—
161	#121	—	2	2	no	—
162	#121	—	2	2	no	—
163	C₄×D₄	—	2	4	no	—
164	C₄×D₄	—	2	4	no	—
165	C₄×D₄	—	2	2	no	—
166	C₄×D₄	—	2	2	no	—
167	C₄×D₄	—	2	2	no	—
168	C₄×D₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
180	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
185	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
186	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
189	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
190	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
191	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
192	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
193	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
194	#97	—	2	4	no	—
195	#97	—	2	2	no	—
196	#97	—	2	2	no	—
197	#97	—	4	2	no	—
198	#97	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
199	#97	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
200	C₄×C₈	—	4	2	no	—
201	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	C₂⁴	—	2	2	no	—
204	C₂⁴	#117	1	1	yes	characteristic
205	#41	—	4	4	no	—
206	#41	—	4	8	no	—
207	#41	—	4	4	no	—
208	#41	—	4	2	no	—
209	#41	—	4	2	no	—
210	#41	—	4	4	no	—
211	#41	—	4	4	no	—
212	#41	—	4	2	no	—
213	#41	—	4	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
216	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
217	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
218	C₂×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂×D₄	—	2	2	no	—
220	C₂×D₄	—	2	2	no	—
221	C₂×D₄	—	2	2	no	—
222	C₂×D₄	—	2	2	no	—
223	C₂×D₄	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	—	2	2	no	—
225	C₂×D₄	—	2	4	no	—
226	C₂×D₄	—	4	4	no	—
227	C₂×D₄	—	4	8	no	—
228	C₂×D₄	—	8	4	no	—
229	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
230	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
241	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
253	M₁₆	—	2	2	no	—
254	M₁₆	—	2	4	no	—
255	M₁₆	—	2	4	no	—
256	M₁₆	—	4	2	no	—
257	M₁₆	—	4	8	no	—
258	M₁₆	—	4	4	no	—
259	M₁₆	—	4	8	no	—
260	M₁₆	—	4	4	no	—
261	M₁₆	—	8	4	no	—
262	M₁₆	#100	1	4	yes	—
263	C₂×C₈	—	2	4	no	—
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	4	8	no	—
267	C₂×C₈	—	4	4	no	—
268	C₂×C₈	—	4	8	no	—
269	C₂×C₈	—	4	2	no	—
270	C₂×C₈	—	4	2	no	—
271	C₂×C₈	—	4	4	no	—
272	C₂×C₈	—	8	4	no	—
273	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
274	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
275	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
276	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
284	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
285	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
286	C₄²	#121	1	2	yes	—
287	C₄²	#121	1	2	yes	—
288	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
289	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
290	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
291	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	2	2	no	—
295	C₂³	—	2	2	no	—
296	C₂³	—	4	2	no	—
297	C₂³	—	4	4	no	—
298	C₂³	—	8	4	no	—
299	C₂³	#380	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	#380	1	1	yes	characteristic
301	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
302	Q₈	—	4	2	no	—
303	Q₈	—	4	2	no	—
304	Q₈	—	4	4	no	—
305	D₄	—	4	2	no	—
306	D₄	—	4	2	no	—
307	D₄	—	4	4	no	—
308	D₄	—	4	4	no	—
309	D₄	—	4	4	no	—
310	D₄	—	4	4	no	—
311	D₄	—	4	4	no	—
312	D₄	—	4	4	no	—
313	D₄	—	4	4	no	—
314	D₄	—	8	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	1	no	—
319	C₂×C₄	—	2	1	no	—
320	C₂×C₄	—	2	1	no	—
321	C₂×C₄	—	2	1	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#413	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
347	C₈	—	2	2	no	—
348	C₈	—	2	4	no	—
349	C₈	—	4	4	no	—
350	C₈	—	8	4	no	—
351	C₈	—	8	2	no	—
352	C₈	—	8	2	no	—
353	C₈	C₂×#100	1	4	yes	—
354	C₂²	—	2	2	no	—
355	C₂²	—	2	1	no	—
356	C₂²	—	2	1	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	2	2	no	—
359	C₂²	—	4	2	no	—
360	C₂²	—	4	2	no	—
361	C₂²	—	4	4	no	—
362	C₂²	—	4	4	no	—
363	C₂²	—	8	2	no	—
364	C₂²	—	16	4	no	—
365	C₂²	#1800	1	2	yes	—
366	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
367	C₄	—	2	1	no	—
368	C₄	—	2	1	no	—
369	C₄	—	2	2	no	—
370	C₄	—	2	2	no	—
371	C₄	—	2	2	no	—
372	C₄	—	2	2	no	—
373	C₄	—	4	2	no	—
374	C₄	—	4	2	no	—
375	C₄	#1800	1	2	yes	—
376	C₄	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
377	C₄	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
378	C₂	—	2	2	no	—
379	C₂	—	4	1	no	—
380	C₂	—	4	1	no	—
381	C₂	—	8	2	no	—
382	C₂	—	8	2	no	—
383	C₂	C₂×#1800	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#20675	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#380
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #17797	C₂	semidirect
5. #8634	C₂	semidirect
6. #8632	C₂	semidirect
7. #8630	C₂	semidirect
8. #8121	C₂	semidirect
23. #1568	C₂²	semidirect
24. #1568	C₂²	semidirect
36. #1307	C₂²	semidirect
37. #1307	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60144	2
#17797	2
#17663	2
C₂×#1536	2
#8634	2
#8632	2
#8630	2
#8121	2