Subgroups — #189025

Order 512.

1034 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 407 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60144	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#17796	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#17738	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1560	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#8640	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8638	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8636	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8129	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#568	C₄	1	2	yes	—
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2935	—	2	4	no	—
12	D₄×M₁₆	—	2	2	no	—
13	D₄×M₁₆	—	2	2	no	—
14	#2932	C₄	1	4	yes	—
15	#2931	C₂²	1	2	yes	—
16	#2931	C₂²	1	2	yes	—
17	#2920	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2879	C₄	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1569	—	2	4	no	—
23	#1567	C₂²	1	4	yes	complemented
24	#1566	C₂²	1	4	yes	complemented
25	#1565	—	2	2	no	—
26	#1565	—	2	2	no	—
27	#1560	—	2	1	no	—
28	#1560	—	2	1	no	—
29	#1560	C₂²	1	2	yes	—
30	#1560	C₂²	1	2	yes	—
31	#1560	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1560	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1560	C₂²	1	2	yes	—
34	#1558	—	2	1	no	—
35	#1555	—	2	1	no	—
36	#1543	—	2	1	no	—
37	#1543	—	2	1	no	—
38	C₂×#333	—	2	1	no	—
39	C₂×#331	—	2	1	no	—
40	#1309	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#1309	C₂²	1	4	yes	complemented
42	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	#568	—	4	8	no	—
44	C₂×#131	—	2	4	no	—
45	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	#532	—	2	2	no	—
54	#532	—	2	2	no	—
55	#532	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	#532	D₄	1	1	yes	characteristic
57	#532	D₄	1	1	yes	characteristic
58	#532	Q₈	1	2	yes	—
59	#532	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#532	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#124	Q₈	1	2	yes	—
64	C₂×#121	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#436	—	2	4	no	—
68	#436	—	2	4	no	—
69	#435	—	2	8	no	—
70	#435	—	2	8	no	—
71	C₈×D₄	—	2	4	no	—
72	C₈×D₄	—	2	4	no	—
73	#432	—	2	2	no	—
74	#432	—	2	2	no	—
75	#431	—	2	2	no	—
76	#431	—	2	2	no	—
77	#423	—	2	2	no	—
78	#423	—	2	2	no	—
79	#423	—	2	2	no	—
80	#423	—	2	2	no	—
81	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#423	C₂³	1	2	yes	—
83	#423	C₂³	1	4	yes	—
84	#423	C₂³	1	2	yes	—
85	#423	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
89	#408	—	2	4	no	—
90	#408	C₂×C₄	1	4	yes	—
91	#408	C₂×C₄	1	4	yes	—
92	#407	—	2	4	no	—
93	#407	—	2	2	no	—
94	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
95	C₄×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
96	C₄×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
97	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
98	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
100	#335	—	2	4	no	—
101	#335	—	2	4	no	—
102	#334	—	2	4	no	—
103	#334	—	2	4	no	—
104	#333	—	2	2	no	—
105	#333	—	2	2	no	—
106	#333	—	2	1	no	—
107	#333	—	2	1	no	—
108	#333	—	2	2	no	—
109	#331	—	2	2	no	—
110	#331	—	2	2	no	—
111	#331	—	2	1	no	—
112	#331	—	2	1	no	—
113	#331	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	—	2	2	no	—
115	C₂×#41	—	2	2	no	—
116	C₂×#41	—	4	4	no	—
117	C₂×#41	—	4	4	no	—
118	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
120	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
126	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
129	#131	—	4	8	no	—
130	#131	—	4	8	no	—
131	#131	—	4	16	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
141	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
142	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
143	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
145	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
147	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
148	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
149	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
151	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
155	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
159	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	#127	—	2	2	no	—
162	#127	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
163	#127	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	#127	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	#124	—	2	4	no	—
166	#124	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
167	#124	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
168	#124	C₂×Q₈	1	2	yes	—
169	#124	C₂×Q₈	1	2	yes	—
170	#121	—	2	4	no	—
171	#121	—	2	2	no	—
172	#121	—	2	2	no	—
173	#121	—	2	4	no	—
174	#121	—	2	2	no	—
175	#121	—	2	2	no	—
176	C₄×D₄	—	2	4	no	—
177	C₄×D₄	—	2	2	no	—
178	C₄×D₄	—	2	2	no	—
179	C₄×D₄	—	2	4	no	—
180	C₄×D₄	—	2	2	no	—
181	C₄×D₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
195	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
196	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
201	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
202	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
203	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
204	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
205	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
206	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
207	#97	—	4	2	no	—
208	#97	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
209	#97	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
210	C₄×C₈	—	4	2	no	—
211	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
212	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
213	C₂⁴	—	2	2	no	—
214	C₂⁴	#117	1	1	yes	characteristic
215	#41	—	4	4	no	—
216	#41	—	4	8	no	—
217	#41	—	4	4	no	—
218	#41	—	4	2	no	—
219	#41	—	4	2	no	—
220	#41	—	4	4	no	—
221	#41	—	4	4	no	—
222	#41	—	4	2	no	—
223	#41	—	4	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
226	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
227	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
228	C₂×D₄	—	2	2	no	—
229	C₂×D₄	—	2	2	no	—
230	C₂×D₄	—	2	2	no	—
231	C₂×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×D₄	—	2	2	no	—
233	C₂×D₄	—	2	2	no	—
234	C₂×D₄	—	2	2	no	—
235	C₂×D₄	—	2	4	no	—
236	C₂×D₄	—	4	4	no	—
237	C₂×D₄	—	4	8	no	—
238	C₂×D₄	—	8	2	no	—
239	C₂×D₄	—	8	2	no	—
240	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
241	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
253	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
265	M₁₆	—	2	2	no	—
266	M₁₆	—	2	4	no	—
267	M₁₆	—	2	4	no	—
268	M₁₆	—	4	2	no	—
269	M₁₆	—	4	8	no	—
270	M₁₆	—	4	4	no	—
271	M₁₆	—	4	8	no	—
272	M₁₆	—	4	4	no	—
273	M₁₆	—	8	4	no	—
274	M₁₆	—	8	2	no	—
275	M₁₆	—	8	2	no	—
276	M₁₆	—	8	4	no	—
277	M₁₆	#100	1	4	yes	—
278	C₂×C₈	—	2	4	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	8	no	—
282	C₂×C₈	—	4	4	no	—
283	C₂×C₈	—	4	8	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₂×C₈	—	4	4	no	—
287	C₂×C₈	—	8	4	no	—
288	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
289	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
290	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
291	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
299	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
300	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
301	C₄²	#121	1	2	yes	—
302	C₄²	#121	1	2	yes	—
303	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
304	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
305	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
306	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
308	C₂³	—	2	2	no	—
309	C₂³	—	2	2	no	—
310	C₂³	—	2	2	no	—
311	C₂³	—	4	2	no	—
312	C₂³	—	4	4	no	—
313	C₂³	—	8	4	no	—
314	C₂³	#380	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	#380	1	1	yes	characteristic
316	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
317	Q₈	—	4	2	no	—
318	Q₈	—	4	2	no	—
319	Q₈	—	4	4	no	—
320	D₄	—	4	2	no	—
321	D₄	—	4	2	no	—
322	D₄	—	4	4	no	—
323	D₄	—	4	4	no	—
324	D₄	—	4	4	no	—
325	D₄	—	4	4	no	—
326	D₄	—	4	4	no	—
327	D₄	—	4	2	no	—
328	D₄	—	4	2	no	—
329	D₄	—	4	2	no	—
330	D₄	—	4	2	no	—
331	D₄	—	8	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	1	no	—
336	C₂×C₄	—	2	1	no	—
337	C₂×C₄	—	2	1	no	—
338	C₂×C₄	—	2	1	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#413	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
367	C₈	—	2	2	no	—
368	C₈	—	2	4	no	—
369	C₈	—	4	4	no	—
370	C₈	—	8	4	no	—
371	C₈	—	8	2	no	—
372	C₈	—	8	2	no	—
373	C₈	C₂×#100	1	4	yes	—
374	C₂²	—	2	2	no	—
375	C₂²	—	2	1	no	—
376	C₂²	—	2	1	no	—
377	C₂²	—	2	2	no	—
378	C₂²	—	2	2	no	—
379	C₂²	—	4	2	no	—
380	C₂²	—	4	2	no	—
381	C₂²	—	4	4	no	—
382	C₂²	—	4	4	no	—
383	C₂²	—	8	2	no	—
384	C₂²	—	16	4	no	—
385	C₂²	#1800	1	2	yes	—
386	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
387	C₄	—	2	1	no	—
388	C₄	—	2	1	no	—
389	C₄	—	2	2	no	—
390	C₄	—	2	2	no	—
391	C₄	—	2	2	no	—
392	C₄	—	4	2	no	—
393	C₄	—	4	2	no	—
394	C₄	#1800	1	2	yes	—
395	C₄	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
396	C₄	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
397	C₄	#3068	1	2	yes	—
398	C₄	#3069	1	2	yes	—
399	C₂	—	2	2	no	—
400	C₂	—	4	1	no	—
401	C₂	—	4	1	no	—
402	C₂	—	8	2	no	—
403	C₂	—	8	2	no	—
404	C₂	C₂×#1800	1	1	yes	characteristic
405	C₂	#20679	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#380
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #17796	C₂	semidirect
5. #8640	C₂	semidirect
6. #8638	C₂	semidirect
7. #8636	C₂	semidirect
8. #8129	C₂	semidirect
23. #1567	C₂²	semidirect
24. #1566	C₂²	semidirect
40. #1309	C₂²	semidirect
41. #1309	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60144	2
#17796	2
#17738	2
C₂×#1560	2
#8640	2
#8638	2
#8636	2
#8129	2