Subgroups — #189055

Order 512.

1336 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20760	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20732	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1564	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#8648	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8646	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#8039	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂⁴×C₈	—	2	1	no	—
9	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₈×D₄	—	2	4	no	—
11	C₂×C₈×D₄	—	2	1	no	—
12	C₂×C₈×D₄	—	2	1	no	—
13	C₂×C₈×D₄	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2285	C₂²	1	2	yes	—
21	#1835	—	2	1	no	—
22	#1835	—	2	1	no	—
23	#1834	C₂²	1	2	yes	complemented
24	#1834	C₂²	1	2	yes	complemented
25	#1823	—	2	2	no	—
26	#1802	C₂²	1	8	yes	—
27	#1786	—	2	2	no	—
28	C₄×#102	—	2	4	no	—
29	#1735	—	2	1	no	—
30	#1735	—	2	1	no	—
31	#1564	—	2	4	no	—
32	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#1296	C₂²	1	8	yes	complemented
35	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
37	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
38	C₂³×C₈	—	2	8	no	—
39	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
40	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
41	C₂³×C₈	—	4	8	no	—
42	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	4	yes	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×#117	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₈×D₄	—	2	8	no	—
57	C₈×D₄	—	2	8	no	—
58	C₈×D₄	—	2	4	no	—
59	C₈×D₄	—	2	4	no	—
60	C₈×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
61	C₈×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
62	#431	—	2	4	no	—
63	#431	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#102	—	2	8	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	#384	C₂³	1	4	yes	—
82	#382	—	2	2	no	—
83	#380	—	2	2	no	—
84	#380	—	2	2	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	#340	—	2	2	no	—
88	#340	—	2	2	no	—
89	#340	—	2	2	no	—
90	#340	—	2	2	no	—
91	#340	—	2	8	no	—
92	#335	—	2	4	no	—
93	#334	—	2	4	no	—
94	C₂⁵	—	2	1	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
98	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
99	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
105	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
106	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
118	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
119	C₂²×C₈	—	4	32	no	—
120	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
121	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₄×D₄	—	2	4	no	—
128	C₄×D₄	—	2	4	no	—
129	C₄×D₄	—	2	4	no	—
130	C₄×D₄	—	2	4	no	—
131	C₄×D₄	—	2	4	no	—
132	C₄×D₄	—	2	2	no	—
133	C₄×D₄	—	2	2	no	—
134	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
135	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
136	C₄×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
137	#117	—	4	4	no	—
138	#117	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
151	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
152	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
161	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
164	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
165	#102	—	4	16	no	—
166	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
167	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
168	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
169	C₄×C₈	—	4	4	no	—
170	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
171	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
172	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
173	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
174	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	#95	—	4	2	no	—
177	#95	—	4	2	no	—
178	C₂⁴	—	2	8	no	—
179	C₂⁴	—	2	2	no	—
180	C₂⁴	—	2	4	no	—
181	C₂⁴	—	4	4	no	—
182	C₂⁴	—	4	4	no	—
183	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
184	C₂×D₄	—	2	8	no	—
185	C₂×D₄	—	2	16	no	—
186	C₂×D₄	—	2	16	no	—
187	C₂×D₄	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
191	C₂×D₄	#135	1	8	yes	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	2	2	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	8	no	—
226	C₂×C₈	—	2	8	no	—
227	C₂×C₈	—	2	4	no	—
228	C₂×C₈	—	4	16	no	—
229	C₂×C₈	—	4	16	no	—
230	C₂×C₈	—	4	4	no	—
231	C₂×C₈	—	4	8	no	—
232	C₂×C₈	—	4	4	no	—
233	C₂×C₈	—	4	8	no	—
234	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
235	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
236	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
238	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
244	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
249	C₄²	—	8	4	no	—
250	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
251	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
252	C₄²	#117	1	2	yes	—
253	C₄²	#121	1	2	yes	—
254	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
255	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
256	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
257	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
259	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
260	C₂³	—	2	2	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	16	no	—
263	C₂³	—	2	4	no	—
264	C₂³	—	2	8	no	—
265	C₂³	—	4	32	no	—
266	C₂³	—	4	8	no	—
267	C₂³	—	4	8	no	—
268	C₂³	—	4	4	no	—
269	C₂³	—	4	4	no	—
270	C₂³	#380	1	2	yes	—
271	C₂³	#463	1	4	yes	—
272	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
273	D₄	—	2	16	no	—
274	D₄	—	2	4	no	—
275	D₄	—	2	8	no	—
276	D₄	#427	1	8	yes	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂×C₄	—	4	2	no	—
285	C₂×C₄	—	4	8	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	8	no	—
288	C₂×C₄	—	4	16	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	8	4	no	—
292	C₂×C₄	—	8	4	no	—
293	C₂×C₄	—	8	4	no	—
294	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	#416	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	#418	1	4	yes	—
299	C₂×C₄	#463	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	#478	1	8	yes	—
301	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
310	C₈	—	2	2	no	—
311	C₈	—	2	2	no	—
312	C₈	—	2	2	no	—
313	C₈	—	2	2	no	—
314	C₈	—	4	4	no	—
315	C₈	—	8	4	no	—
316	C₂²	—	2	8	no	—
317	C₂²	—	2	2	no	—
318	C₂²	—	2	2	no	—
319	C₂²	—	2	8	no	—
320	C₂²	—	4	32	no	—
321	C₂²	—	4	4	no	—
322	C₂²	—	4	16	no	—
323	C₂²	—	4	4	no	—
324	C₂²	#1804	1	4	yes	—
325	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂×#463	1	2	yes	—
327	C₂²	#3050	1	2	yes	—
328	C₂²	#3067	1	2	yes	—
329	C₄	—	2	2	no	—
330	C₄	—	2	1	no	—
331	C₄	—	2	1	no	—
332	C₄	—	2	2	no	—
333	C₄	—	4	4	no	—
334	C₄	—	16	4	no	—
335	C₄	#1804	1	4	yes	—
336	C₄	C₂×#416	1	1	yes	characteristic
337	C₄	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
338	C₄	C₂×#427	1	2	yes	—
339	C₄	#3050	1	2	yes	—
340	C₄	C₂×#478	1	2	yes	—
341	C₂	—	2	4	no	—
342	C₂	—	4	8	no	—
343	C₂	#19110	1	4	yes	—
344	C₂	C₂×#1804	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#20658	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#20678	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	#121
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×#121
prime radical	C₂³×D₄	D₄
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20760	C₂	semidirect
4. C₂×#1564	C₂	semidirect
5. #8648	C₂	semidirect
6. #8646	C₂	semidirect
7. #8039	C₂	semidirect
13. C₂×C₈×D₄	C₄	semidirect
23. #1834	C₂²	semidirect
24. #1834	C₂²	semidirect
32. C₂×#335	C₂²	semidirect
33. C₂×#334	C₂²	semidirect
34. #1296	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₈×D₄	2
#20760	2
#20732	2
C₂×#1564	2
#8648	2
#8646	2
#8039	2