Subgroups — #189068

Order 512.

1272 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 387 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20732	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1564	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#8652	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8650	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#8039	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂³×M₁₆	—	2	1	no	—
9	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#436	—	2	4	no	—
11	C₂×#436	—	2	1	no	—
12	C₂×#436	—	2	1	no	—
13	C₂×#436	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#427	—	2	1	no	—
18	C₂×#427	—	2	1	no	—
19	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2285	C₂²	1	2	yes	—
23	#1846	—	2	1	no	—
24	#1846	—	2	1	no	—
25	#1845	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#1844	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#1823	—	2	2	no	—
28	#1802	C₂²	1	8	yes	—
29	#1786	—	2	2	no	—
30	C₄×#102	—	2	4	no	—
31	#1564	—	2	4	no	—
32	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#1296	C₂²	1	8	yes	complemented
35	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
39	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
40	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
41	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
42	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
43	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	4	yes	—
52	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#117	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#436	—	2	8	no	—
58	#436	—	2	8	no	—
59	#436	—	2	4	no	—
60	#436	—	2	4	no	—
61	#436	C₂×C₄	1	8	yes	—
62	#436	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	#431	—	2	4	no	—
64	#431	—	2	4	no	—
65	#427	—	4	4	no	—
66	#427	—	4	4	no	—
67	C₂×#107	—	2	2	no	—
68	C₂×#107	—	2	2	no	—
69	C₂×#106	—	2	2	no	—
70	C₂×#106	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#102	—	2	8	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#384	C₂³	1	4	yes	—
89	#382	—	2	2	no	—
90	#380	—	2	2	no	—
91	#380	—	2	2	no	—
92	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
93	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
94	#340	—	2	8	no	—
95	#335	—	2	4	no	—
96	#334	—	2	4	no	—
97	C₂⁵	—	2	1	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
100	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
101	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
102	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
109	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
110	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
111	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
115	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
117	C₂×M₁₆	—	4	32	no	—
118	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
129	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
131	C₂²×C₈	D₈	1	4	yes	—
132	C₂²×C₈	SD₁₆	1	4	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₄×D₄	—	2	4	no	—
138	C₄×D₄	—	2	4	no	—
139	C₄×D₄	—	2	4	no	—
140	C₄×D₄	—	2	4	no	—
141	C₄×D₄	—	2	4	no	—
142	C₄×D₄	—	2	2	no	—
143	C₄×D₄	—	2	2	no	—
144	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
145	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
146	C₄×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
147	#117	—	4	4	no	—
148	#117	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	#107	—	4	4	no	—
171	#107	—	4	4	no	—
172	#106	—	4	4	no	—
173	#106	—	4	4	no	—
174	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
175	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
176	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
177	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
178	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
179	#102	—	4	16	no	—
180	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
181	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
182	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
183	C₄×C₈	—	4	4	no	—
184	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
185	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
186	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
187	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
188	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	#95	—	4	2	no	—
191	#95	—	4	2	no	—
192	C₂⁴	—	2	2	no	—
193	C₂⁴	—	2	4	no	—
194	C₂⁴	—	4	4	no	—
195	C₂⁴	—	4	4	no	—
196	C₂⁴	—	4	2	no	—
197	C₂⁴	—	4	2	no	—
198	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	2	8	no	—
201	C₂×D₄	—	2	4	no	—
202	C₂×D₄	—	4	8	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	4	8	no	—
205	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
242	M₁₆	—	4	16	no	—
243	M₁₆	—	4	16	no	—
244	C₂×C₈	—	2	1	no	—
245	C₂×C₈	—	2	1	no	—
246	C₂×C₈	—	2	1	no	—
247	C₂×C₈	—	2	1	no	—
248	C₂×C₈	—	2	8	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	4	2	no	—
251	C₂×C₈	—	4	2	no	—
252	C₂×C₈	—	4	8	no	—
253	C₂×C₈	—	4	4	no	—
254	C₂×C₈	—	4	8	no	—
255	C₂×C₈	#102	1	16	yes	complemented
256	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
257	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
258	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
259	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
260	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
264	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
270	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
275	C₄²	—	8	4	no	—
276	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
277	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
278	C₄²	#117	1	2	yes	—
279	C₄²	#121	1	2	yes	—
280	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
281	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
282	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
283	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
285	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	4	8	no	—
290	C₂³	—	4	8	no	—
291	C₂³	—	4	8	no	—
292	C₂³	—	4	2	no	—
293	C₂³	—	4	2	no	—
294	C₂³	—	4	4	no	—
295	C₂³	—	4	4	no	—
296	C₂³	—	8	8	no	—
297	C₂³	—	8	8	no	—
298	C₂³	#380	1	2	yes	—
299	C₂³	#459	1	2	yes	—
300	C₂³	#461	1	2	yes	—
301	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
302	D₄	—	2	8	no	—
303	D₄	—	4	8	no	—
304	D₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	16	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	8	4	no	—
322	C₂×C₄	—	8	4	no	—
323	C₂×C₄	—	8	4	no	—
324	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	#417	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#461	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#474	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	#476	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
344	C₈	—	2	2	no	—
345	C₈	—	2	2	no	—
346	C₈	—	4	4	no	—
347	C₈	—	8	4	no	—
348	C₈	C₂×#102	1	4	yes	—
349	C₈	C₂×#102	1	4	yes	—
350	C₂²	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	2	4	no	—
352	C₂²	—	2	4	no	—
353	C₂²	—	2	2	no	—
354	C₂²	—	4	4	no	—
355	C₂²	—	4	4	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	8	16	no	—
358	C₂²	—	8	4	no	—
359	C₂²	—	8	4	no	—
360	C₂²	#1802	1	4	yes	—
361	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂×#461	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	#3054	1	2	yes	—
365	C₂²	#3067	1	2	yes	—
366	C₄	—	2	2	no	—
367	C₄	—	2	1	no	—
368	C₄	—	2	1	no	—
369	C₄	—	2	2	no	—
370	C₄	—	4	4	no	—
371	C₄	—	16	4	no	—
372	C₄	#1802	1	4	yes	—
373	C₄	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
374	C₄	C₂×#417	1	1	yes	characteristic
375	C₄	#2911	1	2	yes	—
376	C₄	#3054	1	2	yes	—
377	C₄	C₂×#474	1	1	yes	characteristic
378	C₄	C₂×#476	1	1	yes	characteristic
379	C₂	—	2	4	no	—
380	C₂	—	8	4	no	—
381	C₂	#19133	1	2	yes	—
382	C₂	#19137	1	2	yes	—
383	C₂	C₂×#1802	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#20660	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#20678	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	#121
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×#121
prime radical	C₂³×D₄	D₄
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20797	C₂	semidirect
4. C₂×#1564	C₂	semidirect
5. #8652	C₂	semidirect
6. #8650	C₂	semidirect
7. #8039	C₂	semidirect
13. C₂×#436	C₄	semidirect
25. #1845	C₂²	semidirect
26. #1844	C₂²	semidirect
32. C₂×#335	C₂²	semidirect
33. C₂×#334	C₂²	semidirect
34. #1296	C₂²	semidirect
255. C₂×C₈	#102	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#436	2
#20797	2
#20732	2
C₂×#1564	2
#8652	2
#8650	2
#8039	2