Subgroups — #189184

Order 512.

951 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 352 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20806	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#17787	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1487	C₂	1	2	yes	maximal
5	#8663	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8659	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#8079	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	Q₈×M₁₆	—	2	4	no	—
10	Q₈×M₁₆	C₄	1	8	yes	—
11	C₂×#446	—	2	2	no	—
12	C₂×#446	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#430	—	2	1	no	—
16	C₂×#430	—	2	1	no	—
17	C₂×#423	—	2	1	no	—
18	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1849	—	2	2	no	—
23	#1848	C₂²	1	4	yes	—
24	#1565	—	2	4	no	—
25	#1564	C₂²	1	4	yes	—
26	#1487	—	2	4	no	—
27	#1487	C₂²	1	4	yes	—
28	#1487	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
30	#1301	C₂²	1	8	yes	—
31	C₂³×Q₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
34	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
37	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
38	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
40	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	4	yes	—
42	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#446	—	2	16	no	—
51	#446	—	2	4	no	—
52	#446	C₂×C₄	1	8	yes	—
53	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
54	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	#431	—	2	2	no	—
56	#431	—	2	2	no	—
57	#431	—	2	2	no	—
58	#431	C₂³	1	4	yes	—
59	#430	—	4	4	no	—
60	#430	—	4	4	no	—
61	C₂×#108	—	2	4	no	—
62	C₂×#108	—	2	4	no	—
63	#423	—	2	8	no	—
64	#423	—	2	2	no	—
65	#423	—	2	2	no	—
66	#423	—	2	2	no	—
67	#423	—	2	2	no	—
68	#423	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	#423	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
79	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
81	C₂×#97	—	2	2	no	—
82	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
86	#335	—	2	4	no	—
87	#334	—	2	4	no	—
88	Q₈⋊C₈	—	2	8	no	—
89	Q₈⋊C₈	—	2	8	no	—
90	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
91	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
92	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
93	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
94	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
101	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
105	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
106	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
107	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
109	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
110	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
111	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
112	C₂×M₁₆	SD₁₆	1	4	yes	—
113	C₂×M₁₆	Q₁₆	1	4	yes	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
117	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
120	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
121	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
122	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
123	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
124	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
125	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
126	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
127	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
128	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
129	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
130	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
131	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
152	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	#108	—	4	8	no	—
161	#108	—	4	8	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
164	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
165	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
167	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
169	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
170	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
171	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
172	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
173	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
175	#97	—	2	8	no	—
176	#97	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
177	C₄×C₈	—	2	8	no	—
178	C₄×C₈	—	2	4	no	—
179	C₄×C₈	—	4	2	no	—
180	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
181	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
183	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
192	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
193	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
204	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
220	M₁₆	—	2	8	no	—
221	M₁₆	—	4	8	no	—
222	M₁₆	—	4	4	no	—
223	M₁₆	—	4	4	no	—
224	M₁₆	—	8	4	no	—
225	M₁₆	#103	1	16	yes	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	4	no	—
232	C₂×C₈	—	4	4	no	—
233	C₂×C₈	—	8	4	no	—
234	C₂×C₈	—	8	4	no	—
235	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
236	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
237	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
238	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
239	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
249	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
250	C₄²	—	2	2	no	—
251	C₄²	—	2	2	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	2	no	—
254	C₄²	—	2	4	no	—
255	C₄²	—	2	4	no	—
256	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
257	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
258	C₄²	#117	1	2	yes	—
259	C₄²	#121	1	2	yes	—
260	C₄²	#121	1	2	yes	—
261	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
262	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
263	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
266	C₂³	—	4	1	no	—
267	C₂³	—	4	1	no	—
268	C₂³	#380	1	2	yes	—
269	C₂³	#475	1	2	yes	—
270	C₂³	#477	1	2	yes	—
271	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
272	Q₈	—	2	4	no	—
273	Q₈	—	2	2	no	—
274	Q₈	—	2	4	no	—
275	Q₈	—	4	8	no	—
276	Q₈	—	4	2	no	—
277	Q₈	#430	1	4	yes	complemented
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	1	no	—
288	C₂×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	4	1	no	—
290	C₂×C₄	—	4	1	no	—
291	C₂×C₄	—	4	8	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	8	4	no	—
296	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×#103	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	#417	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	#460	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	#462	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	#475	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#477	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
315	C₈	—	2	4	no	—
316	C₈	—	4	4	no	—
317	C₈	—	8	4	no	—
318	C₈	—	8	4	no	—
319	C₈	C₂×#103	1	8	yes	—
320	C₂²	—	2	1	no	—
321	C₂²	—	2	2	no	—
322	C₂²	—	2	1	no	—
323	C₂²	—	2	2	no	—
324	C₂²	—	4	2	no	—
325	C₂²	—	4	2	no	—
326	C₂²	#1803	1	4	yes	—
327	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	C₂×#475	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	C₂×#477	1	1	yes	characteristic
330	C₄	—	2	4	no	—
331	C₄	—	2	1	no	—
332	C₄	—	2	2	no	—
333	C₄	—	2	1	no	—
334	C₄	—	2	1	no	—
335	C₄	—	2	2	no	—
336	C₄	—	4	2	no	—
337	C₄	—	4	2	no	—
338	C₄	—	4	2	no	—
339	C₄	#1803	1	4	yes	—
340	C₄	C₂²×#103	1	1	yes	characteristic
341	C₄	C₂×#417	1	1	yes	characteristic
342	C₄	C₂×#430	1	2	yes	—
343	C₄	C₂×#460	1	1	yes	characteristic
344	C₄	C₂×#462	1	1	yes	characteristic
345	C₂	—	2	1	no	—
346	C₂	—	2	1	no	—
347	C₂	—	2	4	no	—
348	C₂	C₂×#1803	1	1	yes	characteristic
349	C₂	#20667	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#20675	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#121
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#380
prime radical	C₂⁴	C₂²⋊Q₈
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #8663	C₂	semidirect
6. #8659	C₂	semidirect
277. Q₈	#430	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈×M₁₆	2
#20806	2
#17787	2
C₂×#1487	2
#8663	2
#8659	2
#8079	2