Subgroups — #189213

Order 512.

908 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 403 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2982	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21993	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#17806	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#17449	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1487	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#8661	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#8659	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#8081	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#8076	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2982	—	2	2	no	—
12	#2982	—	2	2	no	—
13	#2982	C₄	1	4	yes	—
14	#2982	C₄	1	4	yes	—
15	C₂×C₈×Q₈	—	2	2	no	—
16	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
17	#2920	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2920	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#431	—	2	2	no	—
20	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1950	—	2	2	no	—
25	#1855	—	2	2	no	—
26	#1848	C₂²	1	2	yes	—
27	#1837	C₂²	1	2	yes	—
28	#1574	—	2	2	no	—
29	#1573	—	2	2	no	—
30	#1564	C₂²	1	4	yes	—
31	#1491	—	2	2	no	—
32	#1487	—	2	2	no	—
33	#1487	C₂²	1	4	yes	—
34	#1487	C₂²	1	2	yes	—
35	#1487	C₂²	1	2	yes	—
36	#1479	—	2	2	no	—
37	C₂×Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
38	#1301	C₂²	1	2	yes	—
39	#1301	C₂²	1	2	yes	—
40	#1301	C₂²	1	4	yes	—
41	C₂³×Q₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
43	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
44	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
45	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
49	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
60	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
61	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
62	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
63	#432	—	2	1	no	—
64	#432	—	2	1	no	—
65	#432	—	2	1	no	—
66	#432	—	2	1	no	—
67	#431	—	2	1	no	—
68	#431	—	2	1	no	—
69	#431	—	2	8	no	—
70	#431	—	2	8	no	—
71	#431	—	2	1	no	—
72	#431	—	2	1	no	—
73	#431	—	2	1	no	—
74	#431	—	2	1	no	—
75	#431	—	2	1	no	—
76	#431	—	2	1	no	—
77	#431	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	#431	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#431	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	#431	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	#431	D₄	1	2	yes	—
82	#431	D₄	1	2	yes	—
83	#431	C₂³	1	2	yes	—
84	#431	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×#108	—	2	4	no	—
86	#423	—	2	1	no	—
87	#423	—	2	1	no	—
88	#423	—	2	1	no	—
89	#423	—	2	1	no	—
90	#423	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	#423	C₂³	1	2	yes	—
92	#423	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
94	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
95	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
96	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
97	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
99	#407	—	2	1	no	—
100	#407	—	2	1	no	—
101	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
102	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
103	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
104	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
105	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
106	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
107	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
108	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
109	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
110	#341	—	2	4	no	—
111	#335	—	2	4	no	—
112	#334	—	2	4	no	—
113	Q₈⋊C₈	—	2	8	no	—
114	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
115	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
116	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
120	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
121	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
122	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
131	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
132	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
133	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
136	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
139	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
140	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
143	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
151	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
152	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
184	#108	—	8	4	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
189	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
190	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
192	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
193	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
195	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
196	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
197	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
198	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
199	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
200	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
201	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
202	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
203	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
204	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
205	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
206	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
207	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
208	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
209	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
210	C₂²⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
211	C₂²⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
212	#97	—	4	1	no	—
213	#97	—	4	1	no	—
214	C₄×C₈	—	2	16	no	—
215	C₄×C₈	—	2	2	no	—
216	C₄×C₈	—	2	2	no	—
217	C₄×C₈	—	2	2	no	—
218	C₄×C₈	—	2	2	no	—
219	C₄×C₈	—	4	1	no	—
220	C₄×C₈	—	4	1	no	—
221	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
222	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
223	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
224	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
233	C₂×Q₈	#108	1	8	yes	complemented
234	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
246	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
247	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
265	M₁₆	—	4	2	no	—
266	M₁₆	—	4	4	no	—
267	M₁₆	—	4	2	no	—
268	M₁₆	—	8	2	no	—
269	M₁₆	—	8	2	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	4	2	no	—
274	C₂×C₈	—	4	2	no	—
275	C₂×C₈	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	4	1	no	—
278	C₂×C₈	—	4	1	no	—
279	C₂×C₈	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	8	2	no	—
281	C₂×C₈	—	8	2	no	—
282	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
283	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
291	C₄²	—	2	4	no	—
292	C₄²	—	2	4	no	—
293	C₄²	—	2	4	no	—
294	C₄²	—	2	4	no	—
295	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
296	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
297	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
298	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
299	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
300	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
301	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
302	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
303	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
304	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
305	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
306	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
307	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
308	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
309	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
311	C₂³	—	2	2	no	—
312	C₂³	—	2	2	no	—
313	C₂³	—	4	1	no	—
314	C₂³	#380	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	#380	1	1	yes	characteristic
316	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
317	Q₈	—	2	8	no	—
318	Q₈	—	2	8	no	—
319	Q₈	—	2	8	no	—
320	Q₈	—	2	4	no	—
321	Q₈	C₂×#108	1	8	yes	—
322	C₂×C₄	—	2	8	no	—
323	C₂×C₄	—	2	8	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	8	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	1	no	—
335	C₂×C₄	—	2	1	no	—
336	C₂×C₄	—	2	1	no	—
337	C₂×C₄	—	2	1	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	1	no	—
340	C₂×C₄	—	4	1	no	—
341	C₂×C₄	—	4	1	no	—
342	C₂×C₄	—	4	1	no	—
343	C₂×C₄	—	4	1	no	—
344	C₂×C₄	—	4	1	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	8	2	no	—
347	C₂×C₄	—	8	2	no	—
348	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#380	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂×#108	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
363	C₈	—	2	8	no	—
364	C₈	—	4	4	no	—
365	C₈	—	8	2	no	—
366	C₈	—	8	2	no	—
367	C₈	—	8	2	no	—
368	C₈	—	8	1	no	—
369	C₈	—	8	1	no	—
370	C₂²	—	2	1	no	—
371	C₂²	—	2	1	no	—
372	C₂²	—	2	1	no	—
373	C₂²	—	2	1	no	—
374	C₂²	—	2	1	no	—
375	C₂²	—	2	1	no	—
376	C₂²	—	2	1	no	—
377	C₂²	—	4	4	no	—
378	C₂²	#1810	1	2	yes	—
379	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	#3082	1	2	yes	—
381	C₄	—	2	1	no	—
382	C₄	—	2	1	no	—
383	C₄	—	2	8	no	—
384	C₄	—	2	1	no	—
385	C₄	—	2	1	no	—
386	C₄	—	2	1	no	—
387	C₄	—	2	1	no	—
388	C₄	—	2	1	no	—
389	C₄	—	2	1	no	—
390	C₄	—	4	4	no	—
391	C₄	#1810	1	2	yes	—
392	C₄	#2898	1	2	yes	—
393	C₄	C₂²×#108	1	2	yes	—
394	C₄	#3043	1	1	yes	characteristic
395	C₄	#3044	1	1	yes	characteristic
396	C₂	—	2	2	no	—
397	C₂	—	2	2	no	—
398	C₂	—	4	1	no	—
399	C₂	#20651	1	1	yes	characteristic
400	C₂	C₂×#1810	1	1	yes	characteristic
401	C₂	#20675	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#121
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#380
prime radical	C₂⁴	C₂²⋊Q₈
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #8661	C₂	semidirect
7. #8659	C₂	semidirect
233. C₂×Q₈	#108	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2982	2
#21993	2
#17806	2
#17449	2
C₂×#1487	2
#8661	2
#8659	2
#8081	2
#8076	2