Subgroups — #189497

Order 512.

1234 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 389 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21853	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1566	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#8597	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8595	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#7876	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#131	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#131	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
13	C₄×#131	—	2	4	no	—
14	C₄×#131	—	2	4	no	—
15	C₂×#405	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×#405	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#405	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#405	C₄	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1985	—	2	2	no	—
24	#1955	—	2	2	no	—
25	#1870	—	2	4	no	—
26	#1797	C₂²	1	8	yes	—
27	#1568	—	2	4	no	—
28	#1566	—	2	4	no	—
29	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
33	#1277	C₂²	1	8	yes	—
34	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#131	—	2	8	no	—
36	C₂×#131	—	2	4	no	—
37	C₂×#131	—	2	4	no	—
38	C₂×#131	—	2	8	no	—
39	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
40	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₄×#41	—	2	2	no	—
49	C₄×#41	—	2	2	no	—
50	C₄×#41	—	2	2	no	—
51	C₄×#41	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#432	—	2	4	no	—
63	#432	—	2	4	no	—
64	#423	—	2	4	no	—
65	#423	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
71	#405	—	2	4	no	—
72	#405	—	2	4	no	—
73	#405	—	2	8	no	—
74	#405	—	2	8	no	—
75	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
76	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
77	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
78	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
79	C₂×#97	—	2	2	no	—
80	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
90	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	#336	—	2	8	no	—
95	#335	—	2	4	no	—
96	#334	—	2	4	no	—
97	#334	—	2	4	no	—
98	#334	—	2	4	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	—	2	4	no	—
102	C₂×#41	—	2	4	no	—
103	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
112	#131	—	2	32	no	—
113	#131	—	2	32	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
125	C₂×M₁₆	M₁₆	1	8	yes	complemented
126	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
137	C₂²×C₈	M₁₆	1	8	yes	complemented
138	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄×D₄	—	2	4	no	—
149	C₄×D₄	—	2	4	no	—
150	C₄×D₄	—	2	4	no	—
151	C₄×D₄	—	2	4	no	—
152	C₄×D₄	—	2	2	no	—
153	C₄×D₄	—	2	2	no	—
154	C₄×D₄	—	2	2	no	—
155	C₄×D₄	—	2	2	no	—
156	#117	—	2	2	no	—
157	#117	—	2	2	no	—
158	#117	—	2	4	no	—
159	#117	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
182	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
186	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	8	8	no	—
189	#97	—	2	4	no	—
190	#97	—	2	4	no	—
191	#97	—	2	4	no	—
192	#97	—	4	4	no	—
193	C₄×C₈	—	2	4	no	—
194	C₄×C₈	—	2	4	no	—
195	C₄×C₈	—	2	2	no	—
196	C₄×C₈	—	2	2	no	—
197	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
198	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
199	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
205	#41	—	2	8	no	—
206	#41	—	2	8	no	—
207	#41	—	2	16	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	4	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	2	no	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
246	M₁₆	—	2	16	no	—
247	M₁₆	—	2	8	no	—
248	M₁₆	—	2	8	no	—
249	M₁₆	—	2	16	no	—
250	M₁₆	—	8	8	no	—
251	C₂×C₈	—	2	16	no	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	8	no	—
259	C₂×C₈	—	2	8	no	—
260	C₂×C₈	—	2	16	no	—
261	C₂×C₈	—	4	4	no	—
262	C₂×C₈	—	4	4	no	—
263	C₂×C₈	—	4	4	no	—
264	C₂×C₈	—	4	8	no	—
265	C₂×C₈	—	4	4	no	—
266	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
267	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
269	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
270	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
271	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
272	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
273	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
274	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₄²	—	2	2	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	2	2	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	—	2	2	no	—
287	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
288	C₄²	#117	1	2	yes	—
289	C₄²	#121	1	2	yes	—
290	C₄²	#121	1	2	yes	—
291	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
292	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
293	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
294	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
296	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	2	2	no	—
299	C₂³	—	2	4	no	—
300	C₂³	—	2	2	no	—
301	C₂³	—	2	4	no	—
302	C₂³	—	2	2	no	—
303	C₂³	—	2	2	no	—
304	C₂³	#380	1	2	yes	—
305	C₂³	#423	1	4	yes	—
306	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
307	Q₈	—	2	8	no	—
308	D₄	—	2	8	no	—
309	D₄	—	2	16	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#423	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
348	C₈	—	2	2	no	—
349	C₈	—	2	2	no	—
350	C₈	—	2	4	no	—
351	C₈	—	2	4	no	—
352	C₈	—	8	4	no	—
353	C₈	—	8	4	no	—
354	C₈	#407	1	4	yes	—
355	C₈	#407	1	4	yes	—
356	C₂²	—	2	8	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	2	4	no	—
359	C₂²	—	2	2	no	—
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	4	4	no	—
362	C₂²	—	4	4	no	—
363	C₂²	—	4	2	no	—
364	C₂²	—	4	2	no	—
365	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	C₂×#423	1	2	yes	—
367	C₂²	#2912	1	2	yes	—
368	C₂²	#2916	1	2	yes	—
369	C₄	—	2	2	no	—
370	C₄	—	2	4	no	—
371	C₄	—	2	2	no	—
372	C₄	—	2	1	no	—
373	C₄	—	2	1	no	—
374	C₄	—	2	2	no	—
375	C₄	—	4	2	no	—
376	C₄	—	4	2	no	—
377	C₄	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
378	C₄	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
379	C₄	#2920	1	2	yes	—
380	C₄	#3057	1	2	yes	—
381	C₄	#3060	1	2	yes	—
382	C₂	—	4	4	no	—
383	C₂	—	4	2	no	—
384	C₂	#17798	1	4	yes	—
385	C₂	#20626	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#20662	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#20668	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1568	C₂	semidirect
4. C₂×#1566	C₂	semidirect
5. #8597	C₂	semidirect
6. #8595	C₂	semidirect
7. #7876	C₂	semidirect
125. C₂×M₁₆	M₁₆	semidirect
137. C₂²×C₈	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#131	2
#21853	2
C₂×#1568	2
C₂×#1566	2
#8597	2
#8595	2
#7876	2