Subgroups — #189989

Order 512.

1234 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33999	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#17349	C₂	1	2	yes	maximal
3	#8731	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#8730	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#7866	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1274	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×C₄×#41	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂×C₄×#41	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#431	C₂²	1	4	yes	—
11	#2276	—	2	2	no	—
12	#2275	—	2	4	no	—
13	#2275	—	2	2	no	—
14	C₄×#117	C₄	1	2	yes	—
15	C₄×#117	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₄×#117	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#376	C₄	1	2	yes	—
21	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1461	—	2	2	no	—
23	#1460	—	2	2	no	—
24	#1459	—	2	4	no	—
25	#1458	C₂²	1	8	yes	—
26	#1276	C₂²	1	8	yes	—
27	#1274	C₂²	1	4	yes	—
28	#1274	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₄×#41	—	2	4	no	—
31	C₄×#41	—	2	4	no	—
32	C₄×#41	—	2	4	no	—
33	C₄×#41	—	2	4	no	—
34	C₄×#41	—	2	2	no	—
35	C₄×#41	—	2	2	no	—
36	C₄×#41	C₈	1	8	yes	complemented
37	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
38	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
39	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
40	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
42	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
43	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
45	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
46	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#431	—	2	4	no	—
59	#431	—	2	4	no	—
60	#431	—	2	4	no	—
61	#431	C₂³	1	8	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
65	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
66	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
67	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
68	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
69	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
70	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
71	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
72	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
73	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
74	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
76	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
77	#376	—	2	4	no	—
78	#376	—	2	2	no	—
79	#376	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#376	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×#95	—	2	4	no	—
87	C₂×#95	—	2	2	no	—
88	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
91	#324	—	2	8	no	—
92	#323	—	2	8	no	—
93	C₂×#41	—	2	2	no	—
94	C₂×#41	—	2	2	no	—
95	C₂×#41	—	2	2	no	—
96	C₂×#41	—	2	2	no	—
97	C₂×#41	C₂×C₈	1	4	yes	—
98	C₂×#41	M₁₆	1	4	yes	—
99	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
101	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
106	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
111	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
112	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
113	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
114	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
115	C₄×D₄	—	2	16	no	—
116	C₄×D₄	—	2	8	no	—
117	C₄×D₄	—	2	8	no	—
118	C₄×D₄	—	2	16	no	—
119	C₄×D₄	—	2	8	no	—
120	C₄×D₄	—	2	8	no	—
121	C₄×D₄	—	2	4	no	—
122	C₄×D₄	—	2	4	no	—
123	#117	—	2	2	no	—
124	#117	—	2	2	no	—
125	#117	—	2	2	no	—
126	#117	—	2	4	no	—
127	#117	—	2	2	no	—
128	#117	—	2	4	no	—
129	#117	—	2	4	no	—
130	#117	—	2	4	no	—
131	#117	—	2	4	no	—
132	#117	C₂×C₈	1	4	yes	—
133	#117	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
134	#117	M₁₆	1	4	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	4	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
165	C₂×C₄²	M₁₆	1	4	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
176	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
180	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
181	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
182	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
183	C₄×C₈	—	2	8	no	—
184	C₄×C₈	—	4	4	no	—
185	#95	—	2	2	no	—
186	#95	—	2	4	no	—
187	#95	—	2	4	no	—
188	#95	—	2	4	no	—
189	#95	—	2	2	no	—
190	#95	—	2	2	no	—
191	#95	—	2	2	no	—
192	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
193	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
194	#41	—	2	8	no	—
195	#41	—	2	8	no	—
196	#41	—	2	8	no	—
197	#41	—	2	8	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
200	C₂×Q₈	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
201	C₂×D₄	—	2	4	no	—
202	C₂×D₄	—	2	4	no	—
203	C₂×D₄	—	2	2	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂×D₄	C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
206	C₂×D₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
245	C₂×C₈	—	4	8	no	—
246	C₂×C₈	—	8	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
259	C₄²	—	2	8	no	—
260	C₄²	—	2	2	no	—
261	C₄²	—	2	2	no	—
262	C₄²	—	2	1	no	—
263	C₄²	—	2	1	no	—
264	C₄²	—	2	1	no	—
265	C₄²	—	2	2	no	—
266	C₄²	—	2	1	no	—
267	C₄²	—	2	2	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	2	4	no	—
271	C₄²	—	2	8	no	—
272	C₄²	—	2	4	no	—
273	C₄²	—	8	4	no	—
274	C₄²	—	8	4	no	—
275	C₄²	—	8	4	no	—
276	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
277	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
278	C₄²	#117	1	2	yes	—
279	C₄²	#123	1	4	yes	—
280	C₄²	#123	1	4	yes	—
281	C₄²	C₂²×C₈	1	2	yes	—
282	C₄²	C₂²×C₈	1	2	yes	—
283	C₄²	C₂²×C₈	1	4	yes	—
284	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
285	C₄²	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
286	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
287	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
288	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	4	2	no	—
292	C₂³	—	4	4	no	—
293	C₂³	#381	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
295	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
296	C₂³	#407	1	2	yes	—
297	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
298	Q₈	—	2	8	no	—
299	D₄	—	2	16	no	—
300	D₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	8	4	no	—
326	C₂×C₄	—	8	4	no	—
327	C₂×C₄	—	8	4	no	—
328	C₂×C₄	—	8	4	no	—
329	C₂×C₄	—	8	8	no	—
330	C₂×C₄	—	8	8	no	—
331	C₂×C₄	#381	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#381	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#381	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#407	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#431	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	#431	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	#432	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	#432	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
348	C₈	—	8	8	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	2	4	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	—	4	2	no	—
354	C₂²	—	4	4	no	—
355	C₂²	—	4	4	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	#1817	1	4	yes	—
358	C₂²	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
361	C₄	—	2	4	no	—
362	C₄	—	2	4	no	—
363	C₄	—	2	2	no	—
364	C₄	—	2	2	no	—
365	C₄	—	4	2	no	—
366	C₄	—	4	4	no	—
367	C₄	—	4	4	no	—
368	C₄	—	4	2	no	—
369	C₄	—	4	2	no	—
370	C₄	—	4	2	no	—
371	C₄	—	4	4	no	—
372	C₄	#1817	1	4	yes	—
373	C₄	C₂×#431	1	1	yes	characteristic
374	C₄	C₂×#431	1	1	yes	characteristic
375	C₄	C₂×#432	1	1	yes	characteristic
376	C₄	C₂×#432	1	1	yes	characteristic
377	C₂	—	2	1	no	—
378	C₂	—	2	1	no	—
379	C₂	—	2	4	no	—
380	C₂	—	4	4	no	—
381	C₂	C₂×#1817	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#20708	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#117
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#381
prime radical	C₂²×#41	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×#376 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #8731	C₂	semidirect
4. #8730	C₂	semidirect
5. #7866	C₂	semidirect
6. C₂×#1274	C₂	semidirect
36. C₄×#41	C₈	semidirect
133. #117	C₂×C₈	semidirect
164. C₂×C₄²	C₂×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33999	2
#17349	2
#8731	2
#8730	2
#7866	2
C₂×#1274	2