Subgroups — #190056

Order 512.

1786 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 410 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34044	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20591	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20584	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#8738	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#7946	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂²×#117	C₄	1	2	yes	complemented
8	C₂×#413	—	2	2	no	—
9	C₂×#410	—	2	2	no	—
10	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
11	#2311	—	2	2	no	—
12	#2311	—	2	2	no	—
13	#2310	—	2	1	no	—
14	#2309	—	2	1	no	—
15	#2308	—	2	1	no	—
16	#2308	—	2	1	no	—
17	#2297	C₄	1	4	yes	complemented
18	#2297	C₂²	1	4	yes	—
19	#2280	C₄	1	2	yes	complemented
20	#2280	C₂²	1	2	yes	—
21	#2280	C₂²	1	2	yes	—
22	#1785	C₂²	1	4	yes	—
23	#1784	—	2	1	no	—
24	#1783	—	2	1	no	—
25	#1782	C₂²	1	4	yes	—
26	#1781	—	2	1	no	—
27	#1781	—	2	1	no	—
28	#1284	C₂²	1	16	yes	complemented
29	C₂²×#41	—	2	4	no	—
30	C₂²×#41	—	2	4	no	—
31	C₂²×#41	—	4	8	no	—
32	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂²×#41	D₄	1	2	yes	—
34	C₂²×#41	D₄	1	2	yes	—
35	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂³×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
44	C₂×#117	—	2	2	no	—
45	C₂×#117	—	2	2	no	—
46	C₂×#117	—	2	2	no	—
47	C₂×#117	—	4	8	no	—
48	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	#413	—	4	8	no	—
54	C₂×#101	—	2	4	no	—
55	C₂×#100	—	2	4	no	—
56	#410	—	4	8	no	—
57	C₂×#99	—	2	4	no	—
58	C₂×#99	—	2	4	no	—
59	#407	—	2	4	no	—
60	#407	—	2	2	no	—
61	#407	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
63	#391	—	2	4	no	—
64	#391	—	2	4	no	—
65	#390	—	2	4	no	—
66	#390	—	2	4	no	—
67	#386	—	2	4	no	—
68	#386	—	2	4	no	—
69	#386	—	2	4	no	—
70	#386	—	2	4	no	—
71	#381	—	2	2	no	—
72	#381	—	2	2	no	—
73	#381	C₂³	1	4	yes	—
74	#380	—	2	4	no	—
75	#380	—	2	2	no	—
76	#380	—	2	2	no	—
77	#380	—	2	4	no	—
78	#379	—	2	2	no	—
79	#379	—	2	2	no	—
80	#379	—	2	2	no	—
81	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂⁵	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂⁵	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂×#41	—	2	8	no	—
89	C₂×#41	—	2	8	no	—
90	C₂×#41	—	2	8	no	—
91	C₂×#41	—	2	4	no	—
92	C₂×#41	—	2	4	no	—
93	C₂×#41	—	2	4	no	—
94	C₂×#41	—	2	4	no	—
95	C₂×#41	—	2	8	no	—
96	C₂×#41	—	4	4	no	—
97	C₂×#41	—	4	4	no	—
98	C₂×#41	—	4	4	no	—
99	C₂×#41	—	4	4	no	—
100	C₂×#41	—	4	4	no	—
101	C₂×#41	—	4	4	no	—
102	C₂×#41	—	4	32	no	—
103	C₂×#41	—	4	32	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
105	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
106	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
107	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
113	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
114	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
126	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
127	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
128	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
140	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
142	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
145	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
146	#117	—	4	8	no	—
147	#117	—	4	8	no	—
148	#117	—	4	8	no	—
149	#117	—	4	8	no	—
150	#117	—	4	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
165	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
167	#101	—	4	8	no	—
168	#100	—	4	8	no	—
169	#99	—	4	8	no	—
170	#99	—	4	8	no	—
171	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
172	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
173	#95	—	2	8	no	—
174	#95	—	2	4	no	—
175	#95	—	2	4	no	—
176	#95	—	2	8	no	—
177	C₂⁴	—	2	2	no	—
178	C₂⁴	—	2	4	no	—
179	C₂⁴	—	2	2	no	—
180	C₂⁴	—	4	2	no	—
181	C₂⁴	—	4	2	no	—
182	C₂⁴	—	8	2	no	—
183	C₂⁴	—	8	2	no	—
184	C₂⁴	—	8	2	no	—
185	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
186	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
189	C₂⁴	#123	1	4	yes	—
190	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
191	#41	—	4	16	no	—
192	#41	—	4	16	no	—
193	#41	—	4	16	no	—
194	#41	—	4	16	no	—
195	#41	—	4	32	no	—
196	#41	—	4	32	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
204	C₂×D₄	—	2	4	no	—
205	C₂×D₄	—	2	4	no	—
206	C₂×D₄	—	2	4	no	—
207	C₂×D₄	—	2	4	no	—
208	C₂×D₄	—	2	4	no	—
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	4	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	4	2	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	16	no	—
223	C₂×D₄	—	4	16	no	—
224	C₂×D₄	—	4	16	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
258	C₂²×C₄	#99	1	8	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
274	M₁₆	—	4	8	no	—
275	M₁₆	—	8	4	no	—
276	C₂×C₈	—	4	4	no	—
277	C₂×C₈	—	8	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
288	C₄²	—	4	8	no	—
289	C₄²	—	4	8	no	—
290	C₄²	—	8	4	no	—
291	C₂³	—	2	8	no	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	2	2	no	—
295	C₂³	—	2	2	no	—
296	C₂³	—	2	2	no	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	2	2	no	—
299	C₂³	—	2	2	no	—
300	C₂³	—	4	2	no	—
301	C₂³	—	4	2	no	—
302	C₂³	—	4	4	no	—
303	C₂³	—	4	2	no	—
304	C₂³	—	4	4	no	—
305	C₂³	—	4	4	no	—
306	C₂³	—	4	4	no	—
307	C₂³	—	4	4	no	—
308	C₂³	—	4	4	no	—
309	C₂³	—	8	2	no	—
310	C₂³	—	8	2	no	—
311	C₂³	—	8	2	no	—
312	C₂³	—	8	2	no	—
313	C₂³	—	8	8	no	—
314	C₂³	—	8	8	no	—
315	C₂³	—	8	8	no	—
316	C₂³	#381	1	2	yes	—
317	C₂³	#381	1	2	yes	—
318	C₂³	C₂×#99	1	4	yes	—
319	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
320	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
321	Q₈	—	4	8	no	—
322	Q₈	—	4	8	no	—
323	D₄	—	4	8	no	—
324	D₄	—	4	8	no	—
325	D₄	—	4	8	no	—
326	D₄	—	4	8	no	—
327	D₄	—	4	8	no	—
328	D₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	2	8	no	—
330	C₂×C₄	—	2	16	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	4	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	8	no	—
343	C₂×C₄	—	2	8	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	8	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	8	no	—
355	C₂×C₄	—	4	8	no	—
356	C₂×C₄	—	4	8	no	—
357	C₂×C₄	—	8	16	no	—
358	C₂×C₄	—	8	4	no	—
359	C₂×C₄	—	8	8	no	—
360	C₂×C₄	#381	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#381	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#381	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	C₂×#99	1	4	yes	—
364	C₂×C₄	C₂×#99	1	4	yes	—
365	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
367	C₈	—	8	4	no	—
368	C₂²	—	2	2	no	—
369	C₂²	—	2	2	no	—
370	C₂²	—	2	4	no	—
371	C₂²	—	2	2	no	—
372	C₂²	—	2	2	no	—
373	C₂²	—	2	4	no	—
374	C₂²	—	2	2	no	—
375	C₂²	—	2	2	no	—
376	C₂²	—	2	4	no	—
377	C₂²	—	4	4	no	—
378	C₂²	—	4	4	no	—
379	C₂²	—	4	4	no	—
380	C₂²	—	4	4	no	—
381	C₂²	—	4	2	no	—
382	C₂²	—	4	4	no	—
383	C₂²	—	8	2	no	—
384	C₂²	—	8	2	no	—
385	C₂²	—	8	2	no	—
386	C₂²	—	8	2	no	—
387	C₂²	—	8	8	no	—
388	C₂²	—	8	8	no	—
389	C₂²	—	8	8	no	—
390	C₂²	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	C₂²×#99	1	2	yes	—
392	C₄	—	2	2	no	—
393	C₄	—	2	2	no	—
394	C₄	—	2	4	no	—
395	C₄	—	2	2	no	—
396	C₄	—	4	2	no	—
397	C₄	—	8	8	no	—
398	C₄	—	16	4	no	—
399	C₄	#1819	1	2	yes	—
400	C₄	#1819	1	2	yes	—
401	C₂	—	2	2	no	—
402	C₂	—	4	2	no	—
403	C₂	—	4	2	no	—
404	C₂	—	4	2	no	—
405	C₂	—	4	4	no	—
406	C₂	—	8	2	no	—
407	C₂	C₂×#1819	1	1	yes	characteristic
408	C₂	#20708	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#381
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂⁴×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #8738	C₂	semidirect
5. #7946	C₂	semidirect
7. C₂²×#117	C₄	semidirect
17. #2297	C₄	semidirect
19. #2280	C₄	semidirect
28. #1284	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34044	2
#20591	2
#20584	2
#8738	2
#7946	2